[EM] Condorcet's Words Part II

[Stephane Rouillon]

3.° one will form an advice from the n*(n-1)/2 propositions that regroup
the more votes. If this advice is among the n*(n-1)*...*2 possible advices,
one will consider as elected the Subject (Person)
to who this advice gives the preference. If this advice is among the
2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible advices, then one will successively
put aside from this impossible advice the propositions that have a lesser
plurality, and one will adopt the resulting advice obtained from the kept
propositions.

4.° In the case when (where) one will not have to elect,
   and when one could defer (the election), one will examine
   the probability of regrouped advices that give the preference
   to A, to B, to C, et al. (and company) and one will admit the election
only
   when it results in favor of one of the Candidates with a
   probability greater than 1/2;
   this cannot take place in the case when the result of votes (voices)
leads to one
   of the 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 impossible (absurd) advices,
   and takes place in the case of the n*(n-1)*...*2 other advices,
   when each of the n-1 propositions A > B, A > C, et al.
   that form essentially the advice in favor of A, for example,
   are those that regroup the most votes;
   there is however a great difference between this
   case and the case of an impossible advice. In the last case,
   one has to admit a proposition that has really
   plurality against it, something that does not take place here: thus
   when there is some inconvenients to defer the election, one
   can admit the possible advice, produced (taken) as we did
   expose it above (3.° );
   but it has to be a real necessity to elect for adopting the advice when
the
   propositions that form it imply a contradiction;

(In summary: defer the election if you obtain an impossible advice. Use
method 3.° only if you really need a result.)

   5.° one cannot chose a simpler method.
   Let us suppose in fact for three Candidates, that one limits itself
   to ask if A > B, if A > C, and that it results  in a positive
   votation in favor of both propositions (terms), one will have
   in reality a decision identical to the decision we have shown above
   having to make (chose), pages 123 and next. If one has a positive
votation
   for the first proposition, negative for the second, then
   one will not be right to conclude in favor of C,
   as these two propositions seem to indicate,
   because we have seen that, in the same case, the
   decision can be in favor of A, if one decides that
   B > C, and that among (from) the three propositions A < C were the
   least probable; in favor of B, if among the three propositions
   A > B were the least probable; in favor of C, if among the three
   propositions B > C were the least probable, or in the
   case of the votation in favor of C > B, case that is
   covered in the case when B > C is supposed the least
   probable of the three propositions. In addition, it is obvious
   that admiting this method, one would have different
   results, depending on the order in which one would begin
   to deliberate over the sequence of propositions A > B, A > C
   ... or B > A, B > C, or C > A, C > B;

6.° it is necessary to know the number of Candidates, and
   every election demands necessarily that by a
   first votation one has decided about the ability (capability) of
   the Candidates, in case the advice would be adopted, even
   if it were not formed with the n-1 propositions that have
   plurality;
(I suppose it was to get rid of women and other candidates...)

7.° if the number of voters is very big,
   and the probability of the advice of each very low above
   1/2, it becomes very hard, in proportion that the
   number of Candidates gets larger, to obtain a
   decision that has a degree of probability above
   1/2. Thus one shall entrust a large audience (assembly) with
   the choice between Candidates that have already
   been judged very able, with a very high probability,
   or (one should keep) the right to present to a smaller audience
   and more enlightened some Candidates. In general every election
   held (made) by a big number of men, leads to a very small
   probability that one has chosen the best.
(Personally, I think Condorcet was and still is wrong about that last point.

Suppose we have an electorate that can identify the "good" candidate out of
two
with a .58 probability. This shows the probability of getting the right
person
elected if we allow only one person to vote. Now let us use 3 of these
persons to
vote among a huge pool so the probability is fixed. The probability of
getting the
"good" candidate is (.58)^3 + 3x(.58)^2(.42) = .195112 + 3x .141288 =
.618976
Any comment ? )

Steph

Markus Schulze a écrit :

> Dear Stephane,
>
> in so far as you are the unique French speaking person in
> this mailing list, I would like to ask you how you interpret
> Condorcet's proposal for more than 3 candidates. Condorcet
> wrote ("Essai sur l'application de l'analyse a la probabilité
> des décisions rendues à la pluralité des voix," Imprimerie
> Royale, Paris, pp. 125-128, 1785):
>
>    Si on veut appliquer ce que nous venons de dire au cas
>    où il y a un nombre n de Candidats, on pourra suivre les
>    règles suivantes: 1.° tous les avis possibles, & qui
>    n'impliquent pas contradiction, se réduisent à indiquer
>    l'ordre de mérite que l'on juge avoir lieu entre les
>    Candidats. Par exemple, les six avis ci-dessus se
>    réduisent aux six combinaisons (1) A, B, C; (2) A, C, B;
>    (4) C, A, B; (5) B, A, C; (7) B, C, A; (8) C, B, A, que
>    nous marquons ici des mêmes numéros que les avis qui y
>    répondent (voyez page 120), & qui indiquent les différens
>    ordres, suivant lesquels A, B, C peuvent êtres rangés.
>    Donc pour n Candidats, on aura n*(n-1)*...*2 avis possibles;
>    2.° Chaque Votant ayant donné ainsi son avis, en indiquant
>    l'ordre de valeur des Candidats, si on les compare deux à
>    deux, on aura dans chaque avis n*(n-1)/2 propositions à
>    considérer séparément. Prenant le nombre de chaque fois
>    que chacune est comprise dans l'avis d'un des q Votans,
>    on aura le nombre de voix qui adoptent chaque proposition;
>    3.° on formera un avis des n*(n-1)/2 propositions qui
>    réunissent le plus de voix. Si cet avis est du nombre
>    des n*(n-1)*...*2 avis possibles, on regardera comme élu
>    le Sujet à qui cet avis accorde la préférence. Si cet
>    avis est du nombre de 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis
>    impossibles, alors on écartera de cet avis impossible
>    successivement les propositions qui ont une moindre
>    pluralité, & l'on adoptera l'avis résultant de celles
>    qui restent; 4.° dans le cas où l'on ne sera pas obligé
>    d'élire, & où l'on pourra différer, on examinera la
>    probabilité des avis réunis qui donnent la préférence
>    à A, à B, à C, &c. & on n'admettra l'élection que
>    lorsqu'il résulte en faveur d'un des Candidats une
>    probabilité plus grande que 1/2; ce qui ne peut avoir
>    lieu dans le cas où le résultat des voix conduit à un
>    des 2^(n*(n-1)/2)-n*(n-1)*...*2 avis absurdes, & n'a
>    lieu dans le cas des n*(n-1)*...*2 autres avis, que
>    lorsque chacune des n-1 propositions A > B, A > C, &c.
>    qui forment essentiellement l'avis en faveur de A, par
>    exemple, sont celles qui réunissent le plus de voix;
>    il y a cependant une très-grande différence entre ce
>    cas & celui d'un avis impossible. Dans ce dernier cas,
>    on est obligé d'admettre une proposition qui a réellement
>    la pluralité contr'elle, ce qui n'a pas lieu ici: ainsi
>    lorsqu'il y a des inconvéniens à différer l'élection, on
>    peut admettre l'avis possible, pris comme nous l'avons
>    exposé ci-dessus; au lieu qu'il faut une véritable
>    nécessité d'élire pour adopter l'avis lorsque les
>    propositions qui le forment impliquent contradiction;
>    5.° on ne peut choisir une méthode plus simple.
>    Supposons en effet pour trois Candidats, qu'on se borne
>    à demander si A > B, si A > C, & qu'il en résulte une
>    votation positive en faveur des deux énoncés, on aura
>    à la vérité une décision conforme à celle que nous
>    avons montré ci-dessus qu'il falloit choisir, pages
>    123 & suiv. Si on a une votation positive pour la
>    première proposition, négative pour la seconde, alors
>    on ne sera pas en droit d'en conclure en faveur de C,
>    comme ces deux propositions paroissent l'indiquer,
>    puisque nous avons vu que, dans le même cas, la
>    décision peut être en faveur de A, si on décide que
>    B > C, & que des trois propositions A < C soit la
>    moins probable; en faveur de B, si de trois propositions
>    A > B est la moins probable; en faveur de C, si des
>    trois propositions B > C est la moins probable, ou dans
>    le cas de la votations en faveur de C > B, cas qui est
>    compris dans celui où B > C est supposée la moins
>    probable des trois propositions. De plus, il est
>    évident qu'en admettant cette méthode, on auroit des
>    résultats différens, suivant qu'on commenceroit à
>    délibérer sur la suite des propositions A > B, A > C
>    ... ou B > A, B > C, ou C > A, C > B; 6.° il est
>    nécessaire de connoître le nombre des Candidats, &
>    toute élection exige nécessairement que par une
>    première votation on ait décidé sur la capacité des
>    Candidats, dans le cas où l'avis seroit adopté, même
>    s'il n'étoit pas formé des n-1 propositions qui ont
>    la pluralité; 7.° si le nombre des Votans est très-grand,
>    & la probabilité de l'avis de chacun très-peu au-dessus
>    de 1/2, il devient très-difficile, à proportion que le
>    nombre des Candidats est plus grand, d'obtenir une
>    décision qui ait un degré de probabilité au-dessus de
>    1/2. Ainsi on ne doit confier à une grande assemblée
>    le choix qu'entre des Candidats qui ont été d'ailleurs
>    jugés très-capables, avec une probabilité très-grande,
>    ou bien le droit de présenter à une assemblée moins
>    nombreuse & plus éclairée un certain nombre de
>    Candidats. En général toute élection faite par un
>    grand nombre d'hommes, conduit à une très-petite
>    probabilité que l'on a choisi le meilleur.
>
> Markus Schulze
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