<div dir="auto">But Kristofer,<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Isn't the cheeky system you ponder in your first footnote just...FPP?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I jest, I jest.</div></div><br><div class="gmail_quote gmail_quote_container"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sun, 25 May 2025, 9:21 pm Kristofer Munsterhjelm, <<a href="mailto:km-elmet@munsterhjelm.no">km-elmet@munsterhjelm.no</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 2025-05-24 07:22, Etjon Basha via Election-Methods wrote:<br>
> Thank you all, gentlemen<br>
> <br>
> I greatly enjoyed the discussion and FWIW come out of it with a greater <br>
> appreciation of Condorcet.<br>
> <br>
> A summary for my own benefit: it seems like a hand-count makes one chose <br>
> between two counts for races with n candidates.<br>
> In all, there seems to be no faster and more practical way than a <br>
> pairwise count to compute a Condorcet winner manually.<br>
<br>
The only way I see to break this barrier is to use randomness. You could <br>
randomly sample ballots if the complexity is prohibitive. E.g. you could <br>
count a random pairwise contest from each ballot. But then you need a <br>
trusted way to generate randomness.<br>
<br>
Theoretically, you could even do this on the front-end: ask each voter <br>
his preference for a randomly chosen pairwise contest X>Y. This is a <br>
very simple ballot and would leave the voter to only have to consider <br>
two candidates.[1] However, it would be unfamiliar and probably wouldn't <br>
be received well: even in the best case, you've replaced voters having <br>
to trust a machine count with voters having to trust your source of <br>
randomness, and if the race has a few very clear frontrunners, the <br>
majority of the voters who don't get asked about any frontrunner contest <br>
might feel cheated out of their opinion.<br>
<br>
But deterministically for Condorcet, I think v voters times n candidates <br>
is the best you can do (at least without seriously thinking outside the <br>
box). Because suppose otherwise, that you only check (n-1) candidates. <br>
Then it's possible that the candidate that you didn't check is the <br>
actual CW. There may be heuristics - e.g. if someone has a majority of <br>
the first preferences, that candidate is the CW - but they won't always <br>
hold.<br>
<br>
<br>
On a related note, I have been thinking about how to formally prove that <br>
a given method has a minimum degree of summability, or that for, say, <br>
thre candidates, it must know the value of (e.g.) five variables. Such <br>
an approach could show that, yes, you need n pairwise counts for every <br>
known method. (It could also disprove it, but that would be more <br>
surprising.)<br>
<br>
For concrete methods that are always decisive, this becomes a linear <br>
algebra problem.[2] I haven't found a way to solve this problem, <br>
however. There's an obvious upper bound using separating hyperplanes, <br>
but to my knowledge it's just that - an upper bound.<br>
<br>
The problem for methods that pass some criteria is even harder. For <br>
instance, I suspect that determining the innermost mutual majority set - <br>
the set of candidates that methods passing mutual majority must elect <br>
from - is not summable. But there are lots of methods that do pass <br>
mutual majority and *are* summable. I would be surprised if my intuitive <br>
hunch for Condorcet were to be disproven, though.<br>
<br>
-km<br>
<br>
[1] A fun theoretical system for people who consider rational ignorance <br>
a problem would be to assign every voter a defined pairwise contest a <br>
sufficiently long time before the election. Then the voter would only <br>
have to evaluate these two candidates, and could do so in more detail. <br>
But in practice, I don't think it would be accepted, and would require <br>
significant technology in its own right.<br>
<br>
[2] Each election can be characterized by a "vote vector" which lists, <br>
for each preference orde, how many voters voted that way. Then each <br>
candidate has a win region which is a union of convex polytopes in <br>
n!-dimensional space, and every point in A's win region has coordinates <br>
equal to a voting vector where the method declares A a winner. Then you <br>
have to find a minimal dimension projection so that no point in <br>
different candidates' win regions overlap after projecting all the win <br>
regions down to that dimension.<br>
</blockquote></div>