<div dir="ltr">Hi Etjon,<div><br></div><div>You're correct that I'm only interested in tied-at-the-top scenarios (i.e. ties that matter in the case of approval).  I was almost willing to drop the subject yesterday (after a debate on the CES Discord that had dated back to February), but on a lark, decided to run my intuition by ChatGPT.  After ChatGPT initially said I was wrong, I became more interested.</div><div><br></div><div>My hunch is that increasing the number of clone candidates increases the odds that there will be two popular clones that tie at the top.  Most of my back and forth with ChatGPT seems to be the two of us trading hunches with one another, rather than coming up with anything definitive.  Here's the proof that it provided that two-candidate elections are identical in FPTP and approval:</div><div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><strong>Two-Candidate Elections Have Identical Tie Probabilities in FPTP and Approval Voting<br></strong><strong>Theorem:<br></strong>For a two-candidate election, Approval Voting and First-Past-The-Post (FPTP) produce the same probability of a tie, assuming that each voter votes sincerely and independently.<br><strong>Proof:<br></strong><strong>Define the Election Setup:</strong><ul><li>Two candidates, <strong>A</strong> and <strong>B</strong>.</li></ul><ul><li><strong>n</strong> voters, each with some <strong>utility function</strong> that ranks A and B.</li></ul><ul><li>Each voter independently decides how to vote based on this preference.</li></ul><strong>FPTP Voting Mechanism:</strong><ul><li>Each voter selects exactly one candidate, choosing the one with the higher utility.</li></ul><ul><li>The probability of a tie is determined by the likelihood that <strong>exactly half</strong> of the voters choose A and the other half choose B.</li></ul><strong>Approval Voting Mechanism:</strong><ul><li>Each voter approves a candidate if their utility exceeds a personal approval threshold.</li></ul><ul><li>In a <strong>two-candidate race</strong>, every voter has <strong>only three possible voting behaviors</strong>:</li></ul><ul><li>Approve only A.</li></ul><ul><li>Approve only B.</li></ul><ul><li>Approve both A and B (which is equivalent to abstaining in terms of affecting the outcome).</li></ul><ul><li>The only votes that <strong>change the election result</strong> are those where a voter picks only A or only B.</li></ul><ul><li>If the proportion of voters approving only A vs. only B is <strong>exactly 50-50</strong>, a tie occurs.</li></ul><strong>Equivalence of Tie Probability:</strong><ul><li>The critical observation is that <strong>"approving both" and "approving neither" do not change the relative count between A and B</strong>.</li></ul><ul><li>Thus, the set of voters <strong>who actually cast a deciding vote</strong> follows the same 50-50 condition as in FPTP.</li></ul><ul><li>Since the probability of a tie in FPTP depends only on the exact split of votes between A and B, and this is the same deciding factor in Approval Voting (ignoring those who approve both), <strong>the probability of a tie must be identical in both systems</strong>.</li></ul><strong>Conclusion:<br></strong>For <strong>two-candidate elections</strong>, Approval Voting does not reduce or increase the probability of ties compared to FPTP. The probability is determined by the randomness in how voters split their preferences between the two candidates, and the Approval Voting mechanism does not introduce any additional bias that would change this.</blockquote><div><br></div><div>Once ChatGPT proved to itself that two-candidate elections were equivalent, it seemed more willing to entertain the possibility that 3-or-more candidate elections might be equivalent-ish, though as I tried to think through how to nail Jello to the wall, and get a proof of my conjecture that 3-or-more candidates is also equivalent, I realized that they may not be.  I'm now just vaguely unsure, even after spending a lot of time exploring the topic. </div></div><div><div></div></div><div><br></div><div>ChatGPT has generally provided better answers for me, but I know that all of the LLMs are rapidly improving (and likely in fits and starts at different rates).  I've gotten lazy and rely on ChatGPT more and more for my LLMing (the same way I still frequently still rely on Google...inertia).  I'd be really interested in hearing what you learn from going back and forth with Gemini and/or DeepSeek on this topic.  Many LLMs seem to love constructing short Python scripts to simulate something that backs up their conjecture, and then using that as "proof" of their point.  It's worth pressing them for mathematical points if/when possible.  When I tried asking Gemini about this topic, it immediately shut the conversation down, stating "<i>I can't help with that right now. I'm trained to be as accurate as possible but I can make mista</i><i>kes sometimes. While I work on perfecting how I can discuss elections and politics, you can try Google Search.</i>"  I've found Gemini needs to be tricked into discussing the election methods.</div><div><br></div><div>Rob</div><div><div>p.s. check out my reddit post pointing back to this conversation:</div><div><div><a href="https://www.reddit.com/r/EndFPTP/comments/1j3wor0/em_probability_of_ties_in_approval_voting_vs_fptp/">https://www.reddit.com/r/EndFPTP/comments/1j3wor0/em_probability_of_ties_in_approval_voting_vs_fptp/</a></div></div></div><div></div></div><br><div class="gmail_quote gmail_quote_container"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, Mar 5, 2025 at 12:30 AM Etjon Basha <<a href="mailto:etjonbasha@gmail.com">etjonbasha@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="auto">Hi Rob,<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I suppose you're interested in the chance of tied-at-the-top scenarios, instead of any ties. If the later, I'm sure there will be many candidates with exactly 4 friends who will get exactly 5 votes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the former case, I can't really see why increasing the number of candidates would decrease the chance of ties if we also increase the voter's ability to vote for many candidates. It's a wash.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In general, I think of Approval as a more efficient search algorithm that looks for exactly the same ideal winner as FPTP.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Given the higher efficiency and the zero cost of fielding candidates close to the supposed median, I would expect ties to be somewhat more likely.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I love jousting with the reasoning models, though I stick to the free ones. My experience with Gemini and DeepSeek is that they are competent ar critiquing a theory of mine, but still can't see major flaws I myself find out about later on, though they will acknowledge these if brought to their attention.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">My own 2 cents.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Regards,</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, 5 Mar 2025, 4:46 pm Rob Lanphier, <<a href="mailto:roblan@gmail.com" target="_blank">roblan@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="ltr">Hi folks,<div><br></div><div>One of the debates that has broken out on the Center for Election Science's Discord server is a debate about the likelihood of ties in approval voting elections vs the likelihood of ties in FPTP elections.</div><div><br></div><div>I've been playing around with ChatGPT, and learned a lot while going back and forth with it.  In short, it would seem approval reduces the risk of ties when there are more candidates, with a significant caveat (which I note below).  Since approval has fewer problems with vote splitting, it's likely to have more candidates.  Thus the folks that believe that ties are less likely in approval have a point that I'll have to concede.</div><div><br></div><div>However, some of the models get skewed in a two-candidate election because naive models consider votes for "", "A", "B", and "AB" to be different, even though "" and "AB" are effectively identical votes (effectively abstentions).  After I twisted ChatGPT's arm, it conceded that two-candidate elections are identical under approval and FPTP, and provided me a proof.  I haven't stepped through the proof yet, but I'm inclined to believe it.  There was a lot of truthiness to it, at first glance.</div><div><br></div><div>The caveat noted above: when I pressed ChatGPT to update its model to allow for multiple sequential elections (where voters and candidates adjust their strategy based on previous elections), then approval elections become MUCH more likely to produce ties.  My speculation is that it is because the candidates adopt consensus positions (i.e. they move toward the center of the distribution).  Since approval doesn't punish clones, it seems the long-term equilibrium settles around candidates clustering in the middle of the N-dimensional spectrum, regardless of the value of N, and regardless of the number of candidates.  Approval's relative lack of vote splitting also makes it very clone friendly.</div><div><br></div><div>In my ChatGPT discussion, we agreed that the simulations provided also provide strong evidence of Duverger's Law applying to FPTP, but not approval.  With FPTP, candidates benefit by clustering around two points rather than one point, but with approval, the best strategy for candidates is to find a single point in the center.</div><div><br></div><div>Many of you are more stubborn than ChatGPT, and more likely to push back.  I'm curious where all y'all stand on this topic.  Thoughts?  Is ChatGPT hallucinating again?  Are ties more likely or less likely under approval voting when compared to FPTP voting, or is it about the same?</div><div><br></div><div>Rob</div><div>p.s. Email me privately if you want an invite to the Center for Election Science's Discord server.  They used to have an open invite URL at <a href="https://electionscience.org/discord" rel="noreferrer" target="_blank">https://electionscience.org/discord</a> , but that wasn't working the last time I checked.</div><div>p.p.s. Those who want to join a Discord server and talk about this, but not joint the CES server, I'd encourage you to join the Electorama server: <a href="https://electorama.com/discord" rel="noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/discord</a> .  This server isn't as active, but it's got a lot of smart people on it. </div></div>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div>
</blockquote></div>