<div dir="ltr">Thanks Kristofer,<div><br></div><div>On why the CW must be in the Serious Candidate Set: once explained in those terms, it really seems quite intuitive indeed, and I should have thought a bit harder before posting. </div><div><br></div><div>I also think that explanation is sufficient to model the observed relationship between the Smith and SC Sets: using your argument, setting the approval cut-off at a Smith Set member will elect some Smith Set member. Setting to the cutoff at some non-member may elect any candidate, inside or outside the Smith Set. </div><div><br></div><div>These two suffice to explain what I've observed by random simulation: The Smith and Serious Candidate Sets will share at least one member in common and, beyond this, it seems like we may be able to say no further.</div><div><br></div><div>Regards,</div><div><br></div><div>Etjon Basha</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Sep 27, 2024 at 2:46 AM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km-elmet@munsterhjelm.no">km-elmet@munsterhjelm.no</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">On 2024-09-21 13:53, Etjon Basha wrote:<br>
> Dear gentlemen,<br>
> <br>
> <br>
> A while ago I did write here about the Iterated Bucklin <br>
> <<a href="https://electowiki.org/wiki/Iterated_Bucklin" rel="noreferrer" target="_blank">https://electowiki.org/wiki/Iterated_Bucklin</a>> method on which I’ve <br>
> recently had a chance to think and generalize about a bit more. Maybe <br>
> some of the below could be novel or otherwise of interest.<br>
> <br>
> <br>
> First, and for our purposes today, let's define the *Serious Candidates <br>
> Set* in the context of a ranked ballot, to include those candidates who <br>
> would win an approval count if they served as the approval cutoff across <br>
> all ballots.<br>
> <br>
> <br>
> In the [2:A>B, 3:C>A, 4:A>B] election as an example, the Set would <br>
> include A and B only, as applying the cutoff at C would still elect B.<br>
> <br>
> <br>
> I’ve been checking some random simulations from Kevin Venzke’s <br>
> <a href="http://votingmethods.net" rel="noreferrer" target="_blank">votingmethods.net</a> <<a href="http://votingmethods.net" rel="noreferrer" target="_blank">http://votingmethods.net</a>>, and here are some <br>
> properties of this Set that I *suspect*:<br>
> <br>
> 1.If there is a Condorcet Winner, this Set should always include them.<br>
<br>
I think that should hold, at least with strict ranks. Suppose A beats B <br>
pairwise. Then if we set the approval cutoff to A inclusive, every <br>
ballot that has B>A will give a point to B and A, whereas every ballot <br>
that has A>B will give a point only to A. Since A beats B pairwise, the <br>
number of A>B ballots exceed the number of B>A ballots. Thus A must have <br>
a higher approval score than B.<br>
<br>
Since A is the CW, this reasoning holds for all other B. A must obtain a <br>
higher approval score than B for any other B. Hence A is the winner and <br>
belongs to the SCS.<br>
<br>
> 2.Otherwise, this Set should always partially overlap with the Smith Set.<br>
<br>
The reasoning above gets us part of the way. Suppose A is in the Smith <br>
set. For any non-Smith member B, A must obtain more points than B for <br>
the same reason as above. So the non-Smith members can't win.<br>
<br>
What we have to show is that it's impossible for e.g. A to be the winner <br>
when the approval cutoff is set at B, B be the winner when it's set at <br>
C, and C be the winner when it's set at A. I'm not sure how to prove <br>
that, though.<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div>