No, I didn’t assume that the probability-distribution for states’ populations is uniform.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I merely assumed uniformity for that  distribution *within any particular interval between two whole numbers of quotas*.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">…& it wasn’t so much an *assumption*, as much as part of a useful operational definition for bias.  …a bias easily defined, determined & avoided.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">(…explaining why I’d denied an assumption of special conditions.)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Because in this topic, an interval between two whole numbers of quotas is often mentioned, it needs an abbreviation. I’ll call it an “integer-interval” (ii).<br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Obviously it’s within a lower ii that that distribution varies most. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The 0-1 ii doesn’t count, because , in House-apportionment, each state gets at least one seat.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It doesn’t count in PR either, because SL specifies .7 (instead of .5) of a quota as the rounding-point in the 0-1 ii.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That’s to discourage & thwart strategic-splitting. BF’s results are so close to those of SL, that the .7 rounding-point in the 0-1 ii should be used in BF too.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">…& so, the lowest ii in which the operational-definition makes a difference is the 1-2 ii.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In that ii, the values of the BF & SL rounding-points differ by only about 2%. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Obviously that % rapidly becomes drastically lower for higher ii s.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">…as also must the variation of the probability-distribution within an ii.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">As for my useful operational-definition of bias:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">1.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One justification for it is that the vagaries & continual variations of the probability-distribution for states’ populations isn’t the responsibility of an allocation-rule. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">…as is tacitly, performatively, agreed by every allocation-rule that doesn’t require recalculating an approximation to that distribution at each census. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But what would an alternative to my useful operational definition look like? A mess, that’s what.<br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Obviously the probability distribution within each ii could only be *approximated* by a formula based on…what? The historical record of populations in that range? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Why should old records be assumed relevant to today’s probabilities. We haven’t gotten away from assumptions—a futile goal.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Or maybe an interpolation or least-squares approximation based on the new populations of the states.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The operative word there is “approximation”.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">All that extra work for something that’s still only approximate. Exactitude hasn’t been gained.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Arguably, in a particular ii, the approximation to the probability-distribution, a best-guess, is more realistic than a uniform distribution there.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But the better likely-accuracy of that guess, doesn’t make it more than a guess.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I didn’t stumble-upon BF as a useful, feasible avoidance of a usefully operationally defined bias. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That was the purpose.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But sure, any other interpretations or interesting aspects that I didn’t know about—yeah I stumbled onto that.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Bias has very much been part of the merit evaluation & comparison of PR methods, & that was always so with House-apportionment as well.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So that was my purpose.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I hadn’t considered the interesting entropy consideration, so yes that was an accidental result.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Entropy in PR had never occurred to me, but it’s the basis of a number of useful measures of inequality. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The most relevant 1-number inequality-measure based on summed-aggregation is a generalized entropy called ge(-1).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div>