<div dir="auto">It looks right ... and a valuable study that should be part of any systematic exposition of Election Methods  ...taking up where Woodall left off.</div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sat, Nov 4, 2023, 2:47 PM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Here are some thoughts about methods made by composing sets and base <br>
methods. Could you check if I'm right?<br>
<br>
Define a "set" as a method that accepts an election and returns a set of <br>
candidates. E.g. the Smith set is a set by this definition.<br>
<br>
And define the method A,B where A is a set and B is a method, as picking <br>
the member of A that's highest ranking according to B's social order (or <br>
members, in case of a tie).<br>
<br>
For a set, let the monotone inclusion criterion (or inclusion <br>
monotonicity) be defined like this:<br>
        1. For any election where A is in the set, raising A can't insert <br>
anyone else into the set;<br>
        2. lowering A can't boot anyone from the set before A is booted out;<br>
        3. and raising A can never boot A from the set if he's already in it, <br>
nor can lowering A insert him into it if he's not.<br>
<br>
(The Smith set, for instance, passes this criterion.)<br>
<br>
First claim: Suppose X and Y inclusion-monotone sets, and Z is their <br>
intersection (i.e. a candidate is in Z iff he's in both X and Y). Then Z <br>
is inclusion-monotone.<br>
        1 and 2. If candidate C is in Z, then C is in both X and Y by <br>
definition. Since both X and Y pass monotone inclusion, nobody can be <br>
inserted into either of them by raising C. Thus nobody can be inserted <br>
into Z either. The reasoning is analogous for the second condition.<br>
        3. C can't be booted from X by raising nor from Y since they're both <br>
inclusion-monotone. Therefore C will remain in both if raised. (The <br>
reasoning is analogous for the "lowering A" criterion.)<br>
<br>
Second: Let A be a set and B be a method. If A is inclusion-monotone and <br>
B passes mono-raise, then A,B passes mono-raise.<br>
<br>
Proof idea: Consider an election e where candidate C is the winner <br>
according to A,B. Then raising C could lead someone else to win if:<br>
        1a. B's social ordering ranks candidate C2 above C, and raising C <br>
inserts C2 into the A set, or<br>
        2a. B's social ordering ranks candidate C right above C2, and raising C <br>
removes C from the A set, or<br>
        3a. B is nonmonotone and raising C leads C2, who is also a member of A, <br>
to be ranked ahead of C according to method B.<br>
<br>
Lowering C could lead someone C to win if:<br>
        1b. B's social ordering ranks C over C2, and lowering C inserts him <br>
into the A set, or<br>
        2b. B's social ordering ranks C2 right above C, and lowering C removes <br>
C2 from the set, or<br>
        3b. B is nonmonotone (etc.)<br>
<br>
In both cases, the first two possibilities are eliminated by the <br>
inclusion monotonicity of A, and the third by B passing monotonicity. In <br>
particular:<br>
<br>
- Inclusion monotonicity condition 1 makes 1a impossible,<br>
- Inclusion monotonicity condition 3 makes 2a impossible,<br>
- B passing mono-raise makes 3a impossible,<br>
- Inclusion monotonicity condition 3 makes 1b impossible,<br>
- Inclusion monotonicity condition 2 makes 2b impossible,<br>
- B passing mono-raise makes 3b impossible.<br>
<br>
Hence raising C can't make him lose according to method A,B; nor can <br>
lowering C make him win.<br>
<br>
Does that seem right?<br>
<br>
-km<br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div>