<div dir="auto">Ironically, because Coombs is maximally vulnerable to burial, Coombs with take-down is maximally punitive to buriers.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[If Coombs buriers had a 100 percent chance of success, then the take-down version would be 100 percent burial proof ... which is clearly impossible because of the double interpretation examples.]<br><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In fact, the minute the buried candidate is eliminated, it takes down with it all candidates defeated by it ... including the one that engineered the burial.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">You cannot beat that for burial resistance!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">An equivalent formulation of Coombs is ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Repeatedly eliminate the lowest implicit approval candidate, until only one remains.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The max burial proof version is ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Repeatedly eliminate the lowest implicit approval candidate along with all candidates beaten by it, until only one remains.</span><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">[Stop here unless you want some advanced stuff]</font></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">If Implicit Approval is too messy for you, take advantage of the fact that the lowest Implicit Approval candidate is for all practical purposes the same as the candidate whose max pairwise support is the smallest ... which is either the Condorcet Loser or the candidate whose best pairwise victory (over another candidate) has the fewest winning votes.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">All of this can be derived from the pairwise support matrix </span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">m(j,k) = |j>k|</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">[Kristofer's notation] ...</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">thus obviating the need for consulting the ballots between elimination rounds.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">Since Coombs with take down works by back-firing on the buriers, it does not elect the buried candidate which is the one that would have won under sincere votes.</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">But this buried candidate can easily be recovered: Simply elect the head-head winner of a final two candidate runoff between the uneliminated candidate a d the last pivot ... the last candidate to take down everybody defeated by it.</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">It failed to eliminate the uneliminated candidate only because the uneliminated candidate was the bus under which it was buried.  A sincere final runoff corrects that mistake.</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">********</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">Every method has many equivalent formulations ... different procedures for arriving at the same winner given the same ballot profile ... as well as different ways of understanding  its most important advantages andisadvantages when compared and contrasted with other methods </font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">That said, ...I </font><span style="font-family:sans-serif">doubt that there is any better results practical method for public proposal than some version of Coombs take-down ... though of course the exact formulation details and language ... not to mention heuristic explanation and presentation, have a long way to go! </span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The most important feature of an election method based on ordinal ballots ... and of the of the form ...</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">"Lacking an undefeated candidate ..." is to make it backfire on the faction that subverted the sincere CW.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The next most important thing is to restore the Sincere CW by sincere runoff.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto">Sincere cycles are so rare in comparison with to sincere CW's that they should always be treated as guilty until proven innocent by a sincere runoff of the kind I mentioned above ... or similar.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This is why, for example, that simple Coombs with take-down (even without the sincere runoff) is vastly superior to  Ranked Pairs as a public proposal imho ;-)</div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">fws</font></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, Sep 27, 2023, 6:52 AM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 9/25/23 20:41, Michael Ossipoff wrote:<br>
<br>
> Some academic authors have high praise for Coombs. One say that, with <br>
> sincere ranking, & fewer than 5 candidates, Coombs always elects the CW.<br>
<br>
That can't be right:<br>
<br>
1: A>C>B>D<br>
1: B>C>A>D<br>
2: A>D>B>C<br>
1: A>C>D>B<br>
3: B>C>D>A<br>
1: D>A>C>B<br>
<br>
A is the CW but has highest last preference count and so is eliminated <br>
first.<br>
<br>
However, it *is* true for three candidates.<br>
<br>
> But Coombs is obviously vulnerable to east burial strategy. In <br>
> particular, trust & betrayal perpetrated by the voters of a “ lesser”-evil.<br>
<br>
Clearly then, knowing this fact, the voters who propose and enact Coombs <br>
must be tough voters who would never ever bury. Therefore Coombs' burial <br>
incentive is no problem wherever it would be proposed.<br>
<br>
I jest :-)<br>
<br>
My real point is "beware arguments that are too powerful; they might <br>
just lead to absurdity".<br>
<br>
Amusingly, according to James Green-Armytage, if we don't care about <br>
strategic susceptibility, then Coombs has a better VSE than IRV. So if <br>
we can simply discard strategy by the (too general) argument that <br>
strategy will never come into play, it's Coombs, not IRV, that ought to <br>
be enacted.<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div>