<div dir="auto">Let pairs (X>Y) of defeats be listed in order of "strength" according to some gauge of strength ... I like the gauge of winning votes plus losing absentions ... but use your own ideas ...<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To gauge the strength of a candidate ranking R, create a binary signature S(R) in which the n_th binary digit from the left (i.e. most significant) end is a one or a zero depending on whether or not the first candidate of the n_th pair in the list is ranked (by R) ahead of the second candidate in that pair.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The strength of the R is the numerical value of its binary signature.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The candidate finish order for our new version of ranked Pairs is the ranking R with the greatest strength as given by S(R).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In general, maximizing S(R) is computationally intractable because of the factorial explosion of the number of possible rankings that need to be checked.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But when rankings are restricted to transitive beat paths (i.e. "chains"), then the computation is polynomial time (second degree) in the number of candidates, because if a set of candidates does organize into a chain, there is only one way to do it ... unlike in the case of organizing candidates into general beatpaths.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So our efficiently comparable version of Ranked Pairs is to select as finish order, among all possible chains of the candidates, the strongest one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Of course, in general different gauges of defeat strength can lead to different finish orders, but because they are all maximal chains, the head of the finish order will always be a Banks candidate ... therefore always a member of Landau.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[If the head were covered by X, then the chain R would not be maximal, so S(R) would get k new defeat pairs to increase the value of its signature S(R), etc]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The signature can be thought of as a measure of how hard it would be to reverse the ranking R, since every pair respecting the R order would be reversed.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>