<div dir="auto"><div dir="auto">If we had a natural way of organizing candidates into a binary tree ... like some sports leagues do for their end of season championship tournaments, we could have more efficient runoffs ... whether instant or not.<br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Even if you had 500 candidates (as contemplated in a recent fantasy thread about "narrowing the field"), a well balanced binary tree would organize the single elimination pairwise tournament into just nine stages, since 500 is less than 512= 2^9.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Finally, after two decades of contemplating this possibility, (and many false starts) I think we've hit upon a natural way of doing this ... the operative word being "natural" ... hopefully natural enough that it properly respects sets of cloned candidates, which is the biggest challenge.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One of my more successful false starts was to take the drainage tree in Jobst's River method and (in the language of geometric topology) "lift" the branch nodes into general position, which converts the drainage structure into a binary tree ... reflecting the fact that in nature you rarely see more than two rivers running together simultaneously.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This new method results in the same binary tree, but more simpl6 and directly ... bypassing the River approach.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So with only a bit more ado ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Start with the weighted, directed graph whose vertices are the candidates (or labels representingvthem) and whose directed, weighted edges represent the pairwise supports/ oppositions of the two candidates connected by the respective edges.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The weight of the edge directed from vertex X to vertex Y is the number of ballots on which candidate X outranks candidate Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the edge from X to Y has greater weight than the edge from Y to X, then we say that X defeats Y, and that X is the pairwise victor over Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It is called the opposition to candidate Y by candidate X, and is also called the support for X against Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The matrix that has the weight of the edge from X to Y in the intersection of candidate X's row and candidate Y's column, is the weighted adjacency matrix of the digraph.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The entries in X's row give the respective supports of X against Y. The entries in Y's column give the respective oppositions to Y from the other candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The diagonal elements of the matrix can be used to store related information, like first place counts, approval/ disapproval counts (whether implicit or explicit) truncation/ abstention counts, etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The pairwise matrix allows processing of the weighted digraph without having to look at it (like flying on instruments). When there are more than a handful of candidates, the diagram starts to look like a plate of spaghetti... so as the number of candidates grows, the matrix represenration waxes and the digraph wanes in computational usefulness  ... but the digraph continues to trump everything else when it comes to describing and conceptualizing the process.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The adjacency digraph is highly connected, since every vertex is directly connected to each of the other vertices by two directed edges. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Removing edges can disconnect the graph, separating it into two or more smaller components.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To find the champion of a connected component S of the digraph ... remove its weakest (smallest weight) edges one at a time until it separates into two smaller components, H and K. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[In standard topological notation</div><div dir="auto">S=H|K]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Component S's champion is the pairwise victor between the (recursively defined) champions of H and K.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">When we apply this procedure to the entire tournament digraph, we get (as output) the tournament champion.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">46 >B</div><div dir="auto">44 B>C</div><div dir="auto">5 C>A</div><div dir="auto">5 C >B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A>B 51 to 49</div><div dir="auto">B>C 90 to 10</div><div dir="auto">C>A 54 to 46</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Eliminating edges of weights 10, 46, 49, 51, and 54, leaves just one edge .. the one of weight 90 from  B to C.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The two remaining components are</div><div dir="auto">{A} and {B,C}, with respective champs of A and B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So A, as the pairwise victor of these two components, is the champion of their union ... i.e. the grand champ.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So far, so good!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div></div>