<div dir="auto">After putting together some ideas from recent conversations on approval based chain building and MMPO based approval ... here's a burial resistant method that popped out:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let CO be the candidate whose max pairwise opposition is smaller than any other candidate's MPO. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[Think CO for Cut Off as in approval cutoff candidate]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If this MMPO candidate is undefeated, elect it, otherwise ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Initialize a chain with the candidate X with the greatest pairwise opposition to CO, that is with the most winning votes against the cutoff CO.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[This X has the greatest.MMPO based approval]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If X is uncovered, add to the chain the most approved candidate that covers X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[That is, the candidate covering X with the greatest pairwise opposition to CO]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In general, as long as the (head of) the chain is uncovered, keep augmenting the chain with the most approved candidate that covers the (head of) the chain.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Finally, elect the last candidate that was added to the chain ... the one that covers all of the other members of the chain.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the examples below all three candidates are uncovered, because in a cycle of three candidates each has a short beatpath to each of the others.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 1.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">46 A>B</div><div dir="auto">44 B>C(Sincere B>A)</div><div dir="auto">5. C>A</div><div dir="auto">5  C>B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Candidate B is the MMPO approval cutoff CO. The chain is initialized with candidate A, the candidate with the greatest pairwise opposition to B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">As the only member of the chain, candidate A wins.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">49 A</div><div dir="auto">26 B>C</div><div dir="auto">25 C(sincere C>B)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Candidates B and C are tied for MMPO candidate ... but the tie is broken in favor of B, because B beats C pairwise.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So B is the approval cutoff candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Candidate A is the approval winner, that is the one with the most PO against the cutoff B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">And A is uncovered, so A wins.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">a A>B</div><div dir="auto">b B>C</div><div dir="auto">c C>A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Where c is the smallest faction size, but large enough to keep both a and b below half of the total number of ballots.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective max PO's of A, B, and C are b+c, a+c, and a+b, which can be written respectively as n-a, n-b, and n-c, where n is the total number of ballots.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The largest of these MPO's is n-c, since C is the smallest faction size, so the MinMaxPO candidate must be either A or B, depending which of A or B has the larger faction.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Case 1: a>b>c</div><div dir="auto">Candidate A is the cutoff. Then C has the greatest approval since C's PO against A is  c+b which is greater than b, which is B's PO against A. So C wins ... which means that if the cycle was created by the largest faction burying the smallest faction, the buried sincere CW won anyway.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Case 2. b>a>c.</div><div dir="auto">Candidate B is the cutoff. Candidate A has the most winning votes against this approval cutoff, so A wins as the one and only member of the approval chain.</div><div dir="auto">If the cycle was created by the largest faction (B) burying its sincere second choice C below its last choice A, then its ploy backfired since its anti-favorite A got elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that IRV agrees with this method except on example 3 in the case where a>b>c.  In that case IRV rewards the burial of C by the A faction.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div></div>