<div dir="auto">Example 1.<div dir="auto">49 C</div><div dir="auto">26 A>B</div><div dir="auto">25 B (Sincere B>A)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Respective IA's for A, B, C ... 26, 51, 49.</div><div dir="auto">Respective MaxPS's: 26, 51, 49.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">DMC winner X1=B. X2=A, defeating X1 26 to 25, X3=C, beating X2 49 to 26.</div><div dir="auto">Note X1 beats X3 51 to 49.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">As usual X1 is the manipulator favorite, X2 is the subverted sincere CW, truncated/ side swipes by the bus X3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Electing X3 punishes the B faction responsible for the false beat cycle.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A manual runoff between X1 and X2 results in a win for A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The two stage manual runoff</div><div dir="auto">(X1 vs X2) vs X3, that is (B vs A)vs C,  will (under rational well informed voting) also be won by the Sincere CW, which is A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How do we know this? By the theorem quoted in our previous message.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">2 A>B</div><div dir="auto">1 B>C</div><div dir="auto">2 C>A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The pairwise win/ties are ...</div><div dir="auto">A>B 4 to 1, B>C 3 to 2, and C>A 3 to 2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective IA/MaxPS values are</div><div dir="auto">4, 3, 3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The DMC winner is X1= A, and we have X2=C, and X3=B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We have noted that usually X3 is the "bus" ... and that would indeed be the case if sincere votes in the A faction were 2 A>C, making C the buried CW ... buried under the bus B, that is.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So if our policy is to simply elect X3, then the burier's sincere anti- favorite B gets elected ... they're not happy.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But what if the B supporters turned out to be the manipulators ... then electing X3 would reward the manipulators ... which shows that the "more often than not" assumption is not infallible.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Does the X1 vs X2 runoff rectify the situation?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Well, if the B faction is the faction guilty of creating the cycle by unilateral burial, then A had to be the sincere CW that got buried under B. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So yes, the X1 vs X2 runoff does rectify the situation, since the sincere CW is X1=A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">What if B were the sincere CW?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then electing X3=B would neither punish nor reward the manipulating faction ... B would win regardless.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So our one stage runoff was good enough to rectify all unilateral burial possibilities.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The two stage runoff shines when more than one faction manipulates, perhaps in concert with other factions.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But as long as the sincere CW is among the three finalists, that two stage runoff will elect it!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Is there any other manipulation rectification theorem like this?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We could re-cast it as ...</div><div dir="auto">Any manipulation of an election that subverts a sincere CW ...  resulting in a three member top cycle (that includes the Sincere CW) .... any such mess can be rectified with a two stage runoff of the form X vs (Yvs Z).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the Smith set resulting from subversion of a sincere CW has eight members, then it can be rectified with a three stage runoff of the form ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[(A vs B) vs (C vs D)] vs [(E vs F) vs (G vs H)].</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If one of the eight is the sincere CW, then the order of the candidate names doesn't matter ... all orders produce the unique sincere CW ... but of course, it's better to have a well justified systematic way of ordering them in general ... similar to our X1, X2, X3 method.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sat, Jul 8, 2023, 1:30 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">The DMC candidate is the candidate with the least Implicit Approval that defeats every candidate with more IA.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The original formulation of DMC was as Benham, IA: eliminate the lowest IA candidates one-by- one until there remains an undefeated candidate among the uneliminated.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To base burial resistance on DMC, let X1 be the DMC candidate. Let X2 be the highest IA candidate to defeat X1, and let X3 be the highest IA candidate to defeat X2. [Assuming no undefeated candidate exists].</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">More often than not, X1 will be the candidate of the buriers, X2 will be the buried candidate, and X3 will be the "bus" candidate under whom the X1 faction buried X2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To punish the buriers, elect the bus X3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To fairly and squarely "unbury X2," i.e. restore the (likely) sincere CW to its rightful status, elect the winner of a sincere runoff between X1 and X2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To wean ourselves entirely from dependence on the "more often than not" assumption, do a sincere three candidate runoff of the form ... (X1 vs X2) vs X3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The first stage decides between two alternatives a1 and a2, where a1 is to elect the winner of a runoff between X1 and X2  (thereby rejecting alternative a2), and a2 is to reject a1 and elect X3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Optimal runoff strategy is to vote for a2 in the first stage of the runoff iff you prefer X3 to the projected winner of the a1 runoff. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If a2 wins the first stage, then there is no second stage ... X3 is elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If a1 wins the first stage, your optimum strategy in the second stage is to vote for your sincere preference between X1 and X2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the voters are both rational and well informed about the preferences of the other voters, then they will vote according to the above strategy recommendations, and the Sincere CW will be elected, if one exists among the three candidates X1,X2, and X3.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A slightly cleaner version DMC' of DMC can be formulated by replacing Implicit Approval with MaxPairwiseSupport: The DMC' candidate is lowest MaxPS candidate that defeats every candidate with greater MaxPS, etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Examples ... coming soon!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>