<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Jun 30, 2023, 12:30 PM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Let a candidate be a dominant mutual nth candidate if he has more than <br>
1/n of the share of first preferences and also pairwise beats everybody <br>
else.<br>
<br>
Let a method pass "strong" dominant mutual nth candidate burial <br>
resistance if W is the dominant mutual nth candidate and voters who <br>
prefer some A to W can't increase the probability of A winning by <br>
burying W. (Ordinary DMnCBR requires that A becomes the sole winner.)<br>
<br>
Then the maximum n compatible with this stronger form and Condorcet is <br>
3, i.e. mutual third.<br>
<br>
A very simple example that my linear programming solver found:<br>
<br>
1: A>B>C<br>
1: B>A>C<br>
1: C>A>B<br>
<br>
A is the CW and thus wins. Furthermore, A is a dominant nth candidate <br>
for all n > 3 because he has exactly a third of the first preferences. <br>
But then<br>
<br>
1: A>B>C<br>
1: B>C>A (burying A under C)<br>
1: C>A>B<br></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Because of the perfect symmetry, it is not possible to set up a sincere runoff that excludes the candidate least likely to be the sincere CW.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But under standard game theoretic assumptions ... of perfect mutual knowledge of sincere preferences, etc... any of the following ballots would elicit "votes" to elect A:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A vs (B vs C)</div><div dir="auto">B vs (A vs C)</div><div dir="auto">C vs (A vs B)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the first of these, since C is the sincere CL, rational voters know that if the "runoff" reaches the B vs C decision, the winner will be B. But a majority of voters sincerely prefer A to B .... therefore their rational choice is for that majority to express A>(B vs C), etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For the second ballot ...  if the second stage is reached, A will win.  Otherwise B will win.  Since A is sincerely preferred over B, a majority of the rational voters will vote B<(A vs C), etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For the third ballot, a majority of ballots will start C<(A vs B) because no matter the result of A vs B, it will be preferred over C, etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<br>
and every anonymous and neutral voting method must return a perfect tie, <br>
which increased B's chance of winning.<br>
<br>
Now I say "almost" because we don't know that the strategists prefer a <br>
33% chance of either candidate to 100% of A, we only know that they <br>
prefer B to A. So in that sense, no, it isn't that easy. But it seems <br>
very close.<br>
<br>
Maybe it's possible to get an actual proof by perturbing with some <br>
epsilons and using resolvability and monotonicity to say that the method <br>
must elect the candidate with the most first preferences, and then <br>
letting B be it... e.g. something like<br>
<br>
10000: A>B>C<br>
10001: B>A>C<br>
10000: C>A>B<br>
<br>
and A wins by being a CW and nth dominant for n > 3.0001, i.e. 3 + <br>
epsilon that can be made arbitrarily small; then<br>
<br>
10000: A>B>C<br>
10001: B>C>A<br>
10000: C>A>B<br>
<br>
by Tideman's resolvability almost suffices (since the perfect tie is <br>
broken by one additional voter).<br>
<br>
What do you think, is there any simple way to do the last step?<br>
<br>
-km<br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div></div></div>