<div dir="auto">The geometry of MinMax has come to the fore in our attempt to decide which two candidates should participate in the sincere runoff.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The candidate C whose max opposition is least .. the MMPO candidate ... can be visualized as being surrounded by the other candidates with voters spread out among them ... the voters that prefer Y over C all on the Y side of C.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let V(Y) be the set of voters that prefer Y over C. If the distribution of voters is lopsided around C, bulging out in the direction of Y, then the number #V(Y) will be larger than average. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If, on the other hand, #V(Y) is relatively small, there will be no prominent bulge in the voter distribution in the direction of Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So adjusting the position (or choice of) C to minimize the largest value of #V(Y) tends to minimize bulges, and put C close to the center of the voter distribution (center of symmetry in the ideal case as in a Yee diagram).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This minimization puts C in a central position relative to the voters, but is no guarantee that they are huddled in close to C; they might be spread out in a crater shaped distribution.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Nevertheless, C is a valuable reference position; any candidate preferred pairwise over C should have some credibility.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If you use C as the approval cutoff candidate, the candidate with the greatest pairwise opposition to C is the approval winner ... corresponding to the "greatest bulge candidate" [or the greatest threat to the defensive champ, depending on your POV].</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">From another point of view, the candidates that prefer Y over C are the ones that will be disappointed if C is elected instead of Y ... so electing the candidate C that minimizes max #V(Y),( is a way of minimizing the number of disappointed voters.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">From a Round Robin tournament point of view, the MMPO team/ player is the defensive champion of the tournament ... the one limiting their opponents to the fewest points.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The other finalist team (the "bulge" team) is the one scoring the most points against the defensive champ.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Taking into account all of these considerations, we suggest electing the sincere winner between the MMPO candidate C, and the candidate Y whose supporters form the greatest bulge in the inevitibly asymmetric distribution ... i.e. the candidate that, if not elected, would result in the most disappointment... in other words, the candidate that outranks C on the greatest number of ballots.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 1.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">46 A</div><div dir="auto">2 C=A</div><div dir="auto">4 C</div><div dir="auto">4 C=B</div><div dir="auto">44 B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Candidate C has a max PO of 46 (from opposition by A)</div><div dir="auto">candidate A has a max PO of 48 by B</div><div dir="auto">Candidate B has a max PO of 48 by A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The MMPO candidate is C, since 46<48.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The max opposition to C comes from A ... so A is the bulge/ main opposition candidate ... which makesthe sincere runoff is between C and A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Who will win?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That depends on how many of the B voters (if any) sincerely prefer C over A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that the MMPO candidate C could also be characterized as the Majority Judgment Candidate, because it is the choice of the median voter.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The ballot Condorcet winner is A, beating C 46 to 8, with pairwise tie between A and B broken in favor of A by asymmetry considerations.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the Condorcet winner is not always the median voter choice, after all!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Is it always true that for approval ballots the MJ winner is the same as the MMPO winner?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Who should the sincere finalists be with cardinal ratings ballots? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In particular, who makes a better approval cutoff candidate ...??? ... the  MMPO candidate? ... the MJ candidate? ... or the Bucklin candidate? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In light of example 1 above, should we always elect the ballot CW when there is one? Or should we wait and see if the sincere runoff between the MMPO candidate and its greatest pairwise challenger detects the ballot CW to be a compromise candidate ... perhaps via favorite betrayal?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[Relevant here is the fact that with only two judgment categories (say good vs bad), the candidate approved on the most ballots is undefeated pairwise.]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Lots of food for thought!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Practical takeaway/ public proposal suggestion:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Lacking a ballot CW, elect the winner of a sincere runoff between the ballot MMPO candidate C and the candidate ranked ahead of C on the greatest number of (original, possibly insincere) ballots.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">fws</div><div dir="auto"><br></div></div>