<div dir="ltr">Well, Ranked Pairs-like completion has this important quality that X1/X2/X3 can win even if (X1>X2)-score, (X2>X3)-score, and (X3>X1)-score are all very low - it doesn't matter as long as the clones' defeats against the other candidates are strong enough. And I think that cloning X can't actually decrease X1/X2/X3's strength against any candidate Y, because if X1 and X2 are in the same pairwise relation with Y (as they should be because of how we define clones), then they cannot form a cycle, so there is no new fpA-fpC score to potentially replace the current strength value.<br><div><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">niedz., 21 maj 2023 o 18:34 Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> napisał(a):<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">On 5/21/23 10:42, Filip Ejlak wrote:<br>
> And here I have a simpler fpA-fpC generalization (haven't tested it yet):<br>
> <br>
> When making an X vs Y comparison with Z as a witness, X's strength <br>
> against Y equals:<br>
> - X's fpA-fpC score if there's a {X,Y,Z} cycle<br>
> - the number of X>Y votes if there's no cycle<br>
> <br>
> Final strength of X against Y equals the minimum possible strength, i.e. <br>
> the strength with such a witness that the strength value is minimized.<br>
> <br>
> Create a comparison matrix with final strength values. Proceed with a <br>
> defeat-dropping Condorcet method.<br>
<br>
I've been thinking about methods that try to generalize fpA-fpC by using <br>
max, but I think similar problems may exist with methods that use min.<br>
<br>
Suppose we clone a candidate (call him A) into a three-cycle, <br>
A1>A2>A3>A1. Then if we just say, we're going to make a method that's<br>
<br>
score(A) = max over B, C: fpA-fpC(restricted to A, B, C)<br>
<br>
then it's possible to arrange the clones' first preferences so that the <br>
clones grant A a very high maximum score. (The same trick works for the <br>
method where A's score is just the margin of the greatest landslide A is <br>
involved in.)<br>
<br>
So suppose that we define a matrix D so that (X>Y)_D = min over Z: <br>
fpA-fpC restricted to X,Y,Z.<br>
<br>
Then there needs to be some additional structure so that cloning X <br>
doesn't lead fpA-fpC restricted to X1, X2, X3 to be very unfavorable to <br>
X, so that X loses. (I think an analogous observation is why Minmax <br>
fails clone dependence.)<br>
<br>
Perhaps this additional structure would come from an observation of the <br>
type: suppose X1, X2, and X3 are clones; then it may be impossible for <br>
(X1>X2)_D, (X2>X3)_D, and (X3>X1)_D to *all* be small. Thus if X used to <br>
win, at least one of the clones will succeed through Ranked Pairs (or <br>
Schulze, etc) applied to D, and thus X will keep winning.<br>
<br>
Clearly it's impossible for all the clones' inter-clone victories to be <br>
small if they have the same witness. But would it be possible to <br>
carefully craft a ballot where say<br>
        (X1>X2)_D has witness A, with low score for X1<br>
        (X2>X3)_D has witness B, with low score for X2<br>
        (X3>X1)_D has witness C, with low score for X3?<br>
<br>
Perhaps at least Ranked Pairs deals with this by disregarding such low <br>
scores until the higher scores have all been locked in...<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div>