<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sun, Mar 26, 2023, 10:59 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">Our Friendly Method experiments have led in this direction:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Remember Bottom  Count Dsapproval?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Bottom Count Disapproval of X ... BotCountD(X) is the number of ballots on which X outranks no candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Bottom Count Anti-Favorite Lottery probabilities f'(X) are obtained from the Bottom Count Disapproval scores D(X) the same way the Martin Harper lottery probabilities f(X) are ontained from the Equal Top Approval scores A(X):</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">f'(X) is the percentage of ballots B on which the disapproval D(X) is the largest disapproval of any candidate disapproved on ballot X ... meaning not ranked above any candidate on ballot B ... i.e. contributing to the  Bottom Count Disapproval of X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example ...</div><div dir="auto">48 C</div><div dir="auto">28 A>B</div><div dir="auto">24 C</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">D(A)=72</div><div dir="auto">D(B)=48</div><div dir="auto">D(C)=52</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So f'(A)=72, f'(B)=0, and f'(C)=28.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our first anti-favorite lottery method is to elect argmax Q(X), where Q(X) is the quotient Sum{f'(Y|X defeats Y}/D(X)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In this case the sums reduce to one term each because no candidate X defeats more than one candidate Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Q(A)=f'(B)/D(A)=0/72</div><div dir="auto">Q(B)=f'(C)/D(B)=28/48</div><div dir="auto">Q(C)=f'(A)/D(A)=72/72</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The winner is argmax Q(X) = C.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For the less lottery minded, here's a different version:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let Q(X)=min{f'(Y)| X defeats Y}/D(X)</div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Should be</div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Let Q(X)=max{D(Y)| X defeats Y}/D(X)</span><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Also note that if we leave out the denominator of the quotient, the method becomes Landau efficient.</span></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto">Elect argmaxQ(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The result is the same ... because min S and sum S are the same when the set S has only one member.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div>
</blockquote></div></div></div>