<div dir="auto"><div>Another possibility:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Until only one candidate remains ...</div><div dir="auto">Eliminate from among the remaining  ...</div><div dir="auto">Friends(PL(MaxMaxPO,minminPO))</div><div dir="auto">EndUntil </div><div dir="auto">Elect the only remaining candidate</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example1</div><div dir="auto">48C</div><div dir="auto">28 AB</div><div dir="auto">24 B</div><div dir="auto">MaxMaxPO=MaxTop=MaxMinPS=C</div><div dir="auto">minminPO=MaxBot=MinMaxPS=A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">PL(C,A)=A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Friends(A)=A,B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Eliminate A,B --> Elect C</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example 2</div><div dir="auto">a ABC</div><div dir="auto">b BCA</div><div dir="auto">c CAB</div><div dir="auto">Suppose a>b>c.</div><div dir="auto">C=MaxBot=mMPS=MMPO</div><div dir="auto">A=MaxTop=MmPS=mmPO</div><div dir="auto">PL(A,C)=A, Friends(A)=B,A --> C wins</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Check me ... this is tricky!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sun, Mar 19, 2023, 9:31 AM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">Here's an even simpler method in the same spirit that accomplishes the sam thing.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">First some notation:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Friends(X) is the set of candidates that do not beat X . the complement of Enemies(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that Friends(X) includes X itself ... "Love thy neighbor as thyself."</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">PW(X,Y) is the Pairwise Winner in the contest between X and Y. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Similarly, PL(X,Y) denotes the Pairwise Loser of the same contest.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Here's the method:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While more than one candidate remains ... eliminate Friends(PL(MaxTop,MaxBot))</div><div dir="auto">EndWhile</div><div dir="auto">Then elect the remaining candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If a burial has taken place, at some point the respective burier and buried are likely to take on the roles of MaxToo and MaxBot, respectively.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If so the burier will lose the pairwise contest, and be eliminated along with the rest of the burier's friends, including the one under whom the buried candidate was buried.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Remember MaxTop and MaxBot are the respective candidates with the greatest Top and Bottom counts.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">MaxTop=Argmax TopCount(X)</div><div dir="auto">MaxBot=Argmax BotCount(X)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">TopCount(X) is the number of ballots on which no other candidate outranks X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">BotCount(X) is the number of ballots on which X outranks no candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It is easy to see that this method is Landau efficient because every pivot candidate is among its friends, and all of the eliminated candidates are friends of the pivots of the stages that eliminated them. In other words, each candidate is a friend of a friend of the winner when not a direct friend of the winner itself ... the very definition of Landau efficiency in the language of friends!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In fact, the set of pivot candidates forms a totally ordered chain that covers every non pivot candidate ... it cannot be extended further above the winner ... which means the method is Banks efficient.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This message is not intended for the lay person. Somebody with extra time on there hands can write it up for general audiences. ... leaving out the technical information that means nothing to voters ... and putting in things helpful to voters that technical readers take for granted.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That's plenty for now. Next time a tournament friendly version that is efficiently precinct summable ... or why not now?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While more than one candidate remains ... eliminate</div><div dir="auto">Friends(PL(MinMaxPS,MaxMinPS))</div><div dir="auto">EndWhile</div><div dir="auto">Elect the remaining candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">MinMaxPS is the candidate whose Maximal Pairwise Support is minimal.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">MaxMinPS is the candidate whose Minimal Pairwise support is maximal.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sat, Mar 18, 2023, 7:02 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" target="_blank" rel="noreferrer">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><br><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">At each stage, among the remaining candidates let MaxTop and MaxBot, respectively, be the candidates with the largest Top and Bottom counts ***.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let COACC be the candidate with the greater of these two max counts.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Eliminate every candidate X  that is outranked by the COACC candidate on a majority of those ballots that show any preference between them .... between X and the COACC, that is.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Also eliminate COACC itself if its Bottom Count is greater than its Top Count ... otherwise keep it.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">***[At any stage a candidate's Top count is the number of ballots on which it is not outranked by any remaining candidate. Similarly, its Bottom count is the number of ballots on which it outranks no remaining candidate. These Top and Bottom counts are supposed to be updated (by vote transfers from eliminated candidates to those remaining) between all elimination stages.]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">48 C</div><div dir="auto">28 A>B</div><div dir="auto">24 B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">MaxTop and MaxBot are C and A, respectively, with counts of 48 and 72.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Since 72 is larger than 48,  the obvious approval cutoff COACC is A, and because A's bottom count is greater than its top count, A itself will be eliminated along with the candidate B, that is disapproved because it is outranked by A=SOACC on a majority (28 to 24)  of the ballots that show any preference ... leaving C as the winner.</div><div dir="auto"><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Note that the cutoff candidate SOACC will always be someone that should obviously be approved (most Top) or else someone obviously disapproved (most bottom).  Of these two obvious choices, the more obvious of the two, the one with the greater max count, is the SOACC cutoff.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">This completely resolves the two most difficult approval questions ... where to place the cutoff between approved and disapproved, and whether or not to approve candidates ranked exactly on the cutoff boundary. The voters don't have to worry about it at all unless they want to over-ride the SOACC cutoff for some personal reason.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Anybody find any significant fault with this method compared to their previous favorite?<br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Easy or hard to understand?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Likely or unlikely to elect the "best" candidate?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Easy to sell or hard to sell?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Best selling point?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Biggest drawback?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Thanks!</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">-Forest</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>
</blockquote></div></div></div>