<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Mar 17, 2023, 6:42 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">My "proof" leaks like a sieve, but here's the first step in a real proof by induction:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Suppose that a hopelandwinner H needs zero friends to cover its enemies ... which means H is unbeaten. If H's ballot support is increased, then H still has zero enemies ... hence is still a Hopeland winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's do another (less vacuous) step to get a feel how the general induction step might go:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So this time the Hopeland winner H needs exactly one helper friend f to befriend it's only enemy e.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">When H's support is increased, does some other candidate X suddenly turn into a Hopeland winner needing less help than H? If not, then H remains a Hopeland winner. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But if X suddenly finds itself with zero enemies then X, then evidently an erstwhile enemy e' of X suddenly became a friend of X because of H's increased ballot support.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But how could increased support for H befriend to X the last enemy e' of X?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For H to help X like this, e' and e would have to be the same candidate, and X advanced to unbeaten status, which means X beat H both before and after H's increased ballot support. So e'=e was already befriended by H before H's increased ballot support ... so H's increased ballot support could not turn X into a unique winner Hopeland winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[needs some tidying up].</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For now, I want to give an instructive example of deducing a unique Hopeland winner on the assumption that if there is a unique candidate H in Hopeland that properly beats all of the other Hopeland candidates, then H must be elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Start with the simple beat cycle ABCA.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then replace C with a clone set beat cycle C1C2C3C1.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then only the members of the clone cycle need two friends to befriend their enemies ... for example C1 needs its friends C2 and A to cover its three enemies C3, A, and B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">On the other hand A's enemies (the C clones) are covered by (befriended by) on friend of A ... nam7ely B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">And the enemy of B, namely A, is covered by any one of the C clones.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So A and B form the Homeland set of tied winners. Of the two, A is the majority winner ... so A must be elected by the assumed principle alluded to above.</div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So in this example of one member C of a simple ABCA cycle replaced by a cycle C1C2C3C1 of its clones, the Condorcet Criterion restricted to the Hopeland tied set picks A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Copeland, on the other hand, elects B, the only candidate with more than two friends.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Hopeland discourages teaming, but seems to go too far in that direction without taking defeat strengths into account ... eliminating out of hand all of the clones instead of giving the strongest of them the same chance that C had before it was cloned, which is the ideal standard of Clone Freedom.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I'm starting to re-think this Hopeland idea.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><br><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Mar 17, 2023, 11:05 AM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" target="_blank" rel="noreferrer">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">In Kristofer's language of Friends ... the Copeland set is the set of candidates tied for the most friends.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To see Copeland's vulnerability to out of control clone nominations, suppose that nobody but you has X for a friend ... meaning that X is an enemy of all the other candidates ... meaning that X beats all of the other candidates pairwise.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If you had access to Hogan's Gonculator or Calvin's Transmogrifier, you might be tempted to clone this friend of yours ...because each additional clone increments your friend count ... so that eventually you would have more friends than anybody else not also taking advantage of the wonderful clone proliferation machinery.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One way to remove this temptation is to reward candidates that need the fewest friends in order to befriend all of their enemies. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's call the candidates tied for the fewest friends needed to befriend all of their enemies Hopeland Candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One of the nice things about Copeland Candidates is that all of their</div><div dir="auto">enemies are friends of their friends ... that is they and their friends together cover the entire field of candidates ... in other words, they are Landau candidates ... they have a short beat-or-tie path to each enemy candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This nice Landau property of Copeland extends to Hopeland ... in fact, you could say that the Hopeland candidates are the ones that need the least "little help from their friends" to befriend their enemies.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another nice thing about Copeland candidates is that when they get increased support, they remain in Copeland. Their increase in ballot support cannot decrease their number of friends relative the friend count of anybody else.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The same nice monotonicity property holds for Hopeland: if a Hopeland candidate gets increased ballot support, it will remain in Hopeland.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This a tad bit more subtle than the Copeland case:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Suppose that H is an Hopeland candidate whose ballot support is increased. If H is a friend of X, then H's increased ballot support could very well result in H befriending some enemy E of X, thereby releasing another friend of X from that responsibility ... thereby reducing the number of friends needed by X to help befriend its enemies ... perhaps to fewer than the number needed by H?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Not to worry. Candidate X could not do this reduction without the help of H.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now let F be the set of other friends besides H needed by X to cover its enemies. In other words, X together with H and the friends in F must cover the entire field of candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But that is the same as H together with X and the additional candidates in F covering the field.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The only problem is that not every member of F is necessarily a friend of H. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So let's partition F into F'+E, H's friends in F and H's enemies in F.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But for each member e of E, H has a friend f(e) that covers it.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In sum, H together with X and F'+ f(E) covers the entire field of candidates, but this covering set is no larger than X together with H and F'+E ...  because </div><div dir="auto">f(E)={f(e)|e in E} has cardinality less than or equal to E ... with equality only when f is one-to-one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So X does need as many or more friends to help cover the candidates as H does. This means that H is still a member of the Hopeland set.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Does that make sense? (i.e. enough sense to actually be correct?)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Check me on this ... perhaps by induction on the number of friends needed to cover H ... or else find a counter example!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If this result is correct (as it probably is), then it can be the basis for many new Landau methods ... one for each Hopeland tie breaker.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But please make sure the tie breaker is both monotonic and clone free ... after all our care to make the Hopeland definition both monotonic and clone free ... don't let anybody just throw that away!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div>
</blockquote></div></div>
</blockquote></div></div></div>