<div dir="auto">Let's look at the simplest scenario of three geometrically positioned factions tightly distributed around their respective candidates A,B,and C:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Without loss, assume A and B are the furthest apart, and that B and C are farther apart than A and C. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then assuming preferences are consistent with distances, we arrive at the following ballot profile:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">a ACB</div><div dir="auto">b BCA</div><div dir="auto">c CAB,</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">where the lower case letters give the respective sizes of the three factions.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To keep things interesting, we also assume that none of the factions has a majority: that is max(a, b, c)<(a+b+c)/2</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then the pairwise defeats are</div><div dir="auto">C beats A ... b+c to a</div><div dir="auto">C beats B ... a+c to b</div><div dir="auto">A beats B ...  a+c to b.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So C is the sincere Condorcet Winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Could either the A or B faction improve its outcome by burying the CW?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the B faction buries C the profile becomes</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">a ACB</div><div dir="auto">b BAC</div><div dir="auto">c CAB</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then A becomes the (insincere) ballot CW beating B ... a+c to B, and beating C ... a+b to c.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This makes A the new winner under any method that meets the Condorcet Criterion of always electing the ballot CW when one exists.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So we see that the B faction's outcome is not helped by this unilateral order reversal.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about B switching places with A or C on the B faction ballot?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It's easy to check that the first would benefit only A, while the second would retain C as the winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">On the other hand, burial of C by the A faction is much more interesting, because the resulting ballot set no longer has a ballot CW .... which means that the Condorcet Criterion is no longer adequate to decide the winner:</div><div dir="auto">Different Condorcet methods will elect different winners, depending on the faction sizes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The pairwise defeats are now ...</div><div dir="auto">A beats B ... a+c to b</div><div dir="auto">B beats C ...  a+b to c</div><div dir="auto">C beats A  ... c+b to a</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Classical Condorcet (MinMax, Ranked Pairs, and CSSD) elect the member of the cycle suffering the weakest defeat ... so A is elected when a is largest ... the largest faction gets its way.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So in this context, under classical Condorcet, the A faction is rewarded for their burial of the sincere CW when the A faction is largest.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about under Black? Black elects the Borda winner when there is no ballot CW.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective Borda scores are (up to a constant shift) a-b, b-c, and c-a.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So A will win  iff a-b is greater than max(b-c, c-a) ... which will be true iff</div><div dir="auto">a-b>b-c and a-b>c-a ... that is iff ...</div><div dir="auto">a>2b-c and a>(b+c)/2 ... i.e.</div><div dir="auto">a>max(2b-c, (b+c)/2).I </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about Baldwin?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Baldwin eliminates the Borda loser, and elects the pairwise winner of the other two candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So under Baldwin, A will win when C is the Borda loser .... i.e. iff</div><div dir="auto">c-a<min(a-b, b-c) ... i.e. iff</div><div dir="auto">(b+c)/2<a and 2c-b<a ... i.e. iff</div><div dir="auto">max((b+c)/2, 2c-b)<a</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about Benham?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Under Benham, when the smallest faction candidate is eliminated, the pairwise winner of the other two is elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A will win (i.e. be rewarded for burial) when the C faction is smallest.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about our max defeat strength winner?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Two cases: </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I. Defeat strength is Winning Votes. Then A wins when a+c>max(b+a, c+b) ....</div><div dir="auto">i.e. c>b and a>b ....</div><div dir="auto"> i.e. ehen the B faction is smallest.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">II. Defeat strength is ...</div><div dir="auto">WinningVotes minus LosingMaxPairwiseSupport.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A wins iff ...</div><div dir="auto">a+c-(a+b)=c-b>max(a-c,b-a) ... i.e.</div><div dir="auto">c>max((a+b)/2 ,2b-a)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">and B wins when (and only when) ...</div><div dir="auto">a>max((b+c)/2, 2c-b) ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">... precisely when A wins under Baldwin!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our WV-LosingMaxPS method backfires on the burying faction precisely when Baldwin rewards the burying faction!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Why do academic Condorcet advocates keep proposing Baldwin?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Because they are not acquainted with the basic facts of burial (not to mention the basic facts of Clone Dependence).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Methods like Baldwin, Nanson, and Black unwittingly sully the Condorcet name. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div></div>