<div dir="auto">Can anybod find a simpler example of a candidate set that cannot be covered by some pair of its members?<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This is a cycle of cycles created by cloning each member of an ABCA cycle ... replacing A with an a1a2a3a1 cycle, B with a b1b2b3b1 cycle, and C with a c1c2c3c1 cycle.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It's tedious but not impossible to construct a ballot set that creates this cycle of cycles.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">No pair covers it.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But the triple {a1,a2,b1} does cover it, as does {a3,b2,c1}, for example.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Two questions:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Q1: Is there a simpler example of a candidate set not covered by some pair of candidates?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Q2: What is the likelihood of such a pair appearing in a public election?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Thu, Mar 9, 2023, 4:13 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">A subset K of candidates covers the entire set of candidates kappa iff no member of kappa-K (the complement of K) defeats every member of K.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let W be the matrix whose j_th entry in row i is 1 or 0 depending on whether or not candidate i is ranked ahead of candidate j on more ballots than not.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This W is called the pairwise win matrix.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let C be a set of columns of W. Then AND(C) is a vector in the column space of W formed by applying the logical AND operator component-wise to the set of columns.  </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">When dealing with zeros and ones, AND is the same as both muliplication and minimization: 1×1=1, 1×0=0, min(1,1)=1, min(1,0)=0.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It is easy to see that AND(C) is the zero vector iff the set of candidates K contributing the set of columns C covers the entire set of candidates kappa.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In particular, the j_th and k_th columns of W will have a dot product of zero iff candidates j and k together cover kappa.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This fact is of practical importance because ... if kappa is the set of candidates in a public election, there will practically always be a pair of candidates that together cover kappa.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A single candidate covers kappa iff its column in W is the zero vector ... which means it is unbeaten pairwise.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So not every ballot set has a Condorcet Winner, but every public election has a covering pair ... with practical certainty ... no known public ballot set has ever required more than two candidates to cover it ... and it's not easy to devise a plausible theoretical one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">These considerations are the practical basis for the following method:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If there is no single covering candidate (i.e. Condorcet Candidate) ...</div><div dir="auto">... then within 24 hours after the votes have been tallied, each candidate must submit a proposed covering pair.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Any proposed pair that does not cover the candidates is thrown out.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The majority winner of each confirmed covering pair is then determined.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Finally, the winner with the most votes is elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That's it ... except ...  legally the theoretical possibility of non-existence of a covering pair must be "covered".</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In that vein I suggest including a clause that says ... if no candidate is able to submit a valid covering pair, an additional 24 hours is allowed for each candidate to propose a covering triple.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Among the respective IRV winners of the confirmed covering triples, elect the one with the most transferred votes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>