<div dir="auto">Cool ... I think you're onto something good!</div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Mon, Feb 20, 2023, 6:08 AM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">First: Let's say that method B is a more decisive version of method A if <br>
you can get B by breaking ties in the outcomes produced by A. (I.e. B's <br>
outcome never ranks X ahead of Y whn A ranks Y ahead of X, but sometimes <br>
ranks X ahead of Y when A ranks X equal to Y.)<br>
<br>
Then it's possible for B to be summable even when A isn't. So <br>
tiebreaking can make matters *easier*. (This unfortunately makes <br>
election method design harder.)<br>
<br>
Second: Suppose you have some black box method that only does "n-1 out <br>
of n" multiwinner elections, i.e. where the number of seats is one less <br>
than the number of candidates. Suppose this method is Droop <br>
proportional. Then the following multiwinner method is Droop <br>
proportional in general and extends the method to any-seat elections:<br>
<br>
        1. Do an n-1 out of n election.<br>
        2. If n-1 is equal to the number of seats, you're done and that's the <br>
outcome.<br>
        3. Otherwise, eliminate whoever was not elected and go to 1.<br>
<br>
My proof idea is like this: Suppose that we're trying to elect k seats <br>
and there are n candidates, and |V| voters. Then the Droop quota for k <br>
seats is |V|/(k+1). So suppose that the Droop proportionality criterion <br>
states that q candidates from some coalition must be elected because <br>
q|V|/(k+1) voters ranked them first. Then since the Droop quota for n-1 <br>
seats is lower than that for k seats, at least q candidates from the <br>
coalition must also be elected in the (n-1) seat election. Hence the nth <br>
candidate (the one who's not elected when the (n-1) seat election is <br>
performed) can't be any of the q. So eliminating him can't violate any <br>
future Droop constraints.<br>
<br>
The rest follows pretty straightforwardly from induction.<br>
<br>
So in a sense, the hard part of a proportional multiwinner method is the <br>
(n-1) out of n election. Solve that and you can get Droop <br>
proportionality in general -- although it would probably be neither <br>
monotone nor summable.<br>
<br>
The funny/interesting part is that no actual multiwinner election method <br>
I know of is constructed this way. Perhaps something notable could be <br>
found in the space of election methods that look like this?<br>
<br>
-km<br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div>