<div dir="auto">So far our best defeat strength gauge is the product of winning approval and losing disapproval.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This still leaves open how to define approval and disapproval in this context.</div><div dir="auto">Up until now I've been using Equal Top for approval and equal Bottom for disapproval.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another possibility is implicit approval and disapproval. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's try something more symmetrical between Top and Bottom... a compromise between those two previous ideas:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For use in defeat strength calculations where approval and disapproval scores are needed, (for now) we will try ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For each candidate X let the approval factor a(X) be the number of ballots on which X is ranked Top (or equalTop) plus half the number of ballots where X is ranked strictly be tween Top and Bottom ... that is half the number of ballots on which X is ranked ahead of at least one candidate, while at least one other candidate is ranked ahead of X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Also let the disapproval d(X) be given by the difference between the number of ballots and a(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">48 C</div><div dir="auto">28 A>B</div><div dir="auto">24 B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective approval scores for A, B and C are 28, 38, and 48.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The corresponding disapprovals are</div><div dir="auto">72, 62, and 52.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The defeat strengths for A>B, B>C, and C>A are ...</div><div dir="auto">28*62, 38*52, and 48*72, respectively.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The strongest defeat is C>A.  And since C is uncovered, no other defeat can depose C from the head of the chain.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example2</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">8 A>B (sincere was A>C)</div><div dir="auto">6 B>C</div><div dir="auto">4 C (sincere was C>A)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The sincere ballots yield C as the only uncovered candidate, hence the winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The truncation in the C faction was a preemptive defense against the burial of C in the A faction ... let's see if it is protective:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective approval/ disapproval pairs are (8, 10), (14, 4), and (10, 8).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective defeat strengths are ...</div><div dir="auto">8*4, 14*8, and 10*10 ... not quite enough to retain the win for C, but enough to punish A by electing A's last choice.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I hope you all will experiment with this streamlined method to get a feel for it.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So far it seems pretty robust to me.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Any bad results?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It's almost simple enough to replace Gross Loser Elimination as the most viable RCV election method.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">What do you think?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Do I need to go over again the simplicity and relevance of "Covering" ... both in concept and calculation?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Thu, Jan 26, 2023, 12:53 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">A curious observation of Kristofer led Kevin and me into a line of inquiry that has resulted in the following simple but powerful method:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Initialize a chain with the strongest defeat pair as though you were starting Ranked Pairs, River, or Beatpath CSSD.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then suddenly switch to Max Gradient Covering by adding to the chain the candidate with the strongest defeat against the head of the chain among those that cover it ... it being the current head of the chain.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Repeat this step until the chain has an uncovered head ... to be elected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Since this method worked so smoothly as an alternate continuation of the first Ranked Pairs step, Kevin and I thought perhaps we could use the finish order of any method as a basis for such a chain: initialize a chain with the highest finish order candidate and then while any candidate covers the current head of the chain ... add to the chain the highest such candidate in the finish order.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We were disappointed to find out that almost all seed methods resulted in non- monotonic combinations of seed plus chain. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Exceptions had to behave like the finish order of Range/Score ... where strengthening the score of one candidate would not change the relative finish order among the other candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So Kevin has called our initial success of seeding with one step of RP ... 'beginner's luck".</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But it may turn out that no other luck is needed ... if you marry your high school sweet heart, and everything works out perfectly ... well, if it ain't broke ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The one parameter left free in this RP feint covering chain method is the gauge of defeat strength.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Recently, while musing on swap cost approval, it occurred to me to gauge RP defeat strength as winning strong approval times losing strong disapproval ... in particular, in the RCV Universal Domain context, strong approval can be interpreted as Top of ballot strength, while strong disapproval can be interpreted as Bottom ballot strength.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example1:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">48 C</div><div dir="auto">28 A>B</div><div dir="auto">24 B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Top(C)*Bottom(A)=48*(48+24) , the defeat strength for C>A, is clearly the strongest by this gauge.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">And since C is uncovered, the chain is complete.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example2:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">x AB</div><div dir="auto">y BC</div><div dir="auto">z CA</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Assuming max(x,y,z)<(x+y+z)/2, there is a beat cycle of ABC.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective strengths fo AB, BC, and CA according tour Top*Bottom gauge are xz, yx, and zy, respectively. The largest of these will be the one with the smallest missing factor in the product xyz.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the defeat strength, in this context is proportional to the reciprocal of the Top strength of the defeated candidate: A,B, or C wins depending on which of B, C,or A, respectively has the fewest Top votes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[Again, we used the fact that all candidates are uncovered ... which makes the initial chain head the winner. This helps explain Krisyofer's original observation that got this whole thing started. So you can see why I'm tempted to call this the KKF method!]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">What do you think?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>