<div dir="auto">Kristofer,<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The clone dependence of Borda and Kemeny-Young are symptoms of the same root malady ... the clone dependence distortion of the Kendall-tau metric.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">You know that Kemeny-Young elects the head of the candidate ranking that minimizes the total Kendall-tau distance from it to the ballot rankings.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The contribution of one ballot B to the Borda count of candidate X is the distance from the ballot B ranking to the ranking with X moved to the bottom of B ... that is the number of swaps it takes to lower X to the bottom of B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Clones distort the Kendall-tau metric like the rear view mirror that says "objects may be closer than they appear."</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's look at the example ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">60 A>B>C>D>E</div><div dir="auto">40 B>C>D>E>A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Kendall tau swap cost of moving A to the bottom of one first faction ballot is 4 swaps per ballot ... a total Kendall-tau distance of 4*60=240 swaps.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The second faction takes zero swaps to get A to the bottom, so the Borda total for A is 240.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Similarly, the Borda total for B is </div><div dir="auto">60*3+40*4=340 total swaps.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The majority candidate A gets a lower Borda score than B!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Without the clones it would take 60 swaps to get A to the bottom of all ballots, but only 40 swaps to move B to its faction bottom.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that the candidates get credit for moving through the crowd of clones. This gives most advantage to the clone ranked bighest among its fellow clones.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If Kendall-tau is decloned by weighting each swap with the product of the first place scores of the candidates being swapped, then swapping A and B yields a cost of 60*40 per swap ... while all other swaps yield zero.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the total weighted swap cost of moving A to the bottom is 60*(60*40) ... much greater than the total cost of moving B to the bottom ... 40*(60*40).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The ratio of the two costs is 60/40 ... the same as it was before the clones were introduced.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Decloning Kendall-tau rectifies the distance distortion at the root of Kemeny-Young crowding in a similar manner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We have used the random ballot favorite lottery probabilities to declone Kendall-tau. The probability distribution of any proportional lottery could be used.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example we could use the random implicit approval ballot lottery probabilities.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This can be done in three ways ... counting approvals fractionally ... or repeated drawings to narrow down to a winner ... or the Martin Harper trick: all of B's probability (1 over the number of ballots) goes to the candidate approved by B with the greatest approval among such candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Here's another way to get approval cutoffs automatically ... on each ballot B approve every candidate not outranked by any Smith candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then use one of the three methods in the previous paragraph to extract proportional lottery probabilities from the resulting automatically generated approvals.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That's enough for now!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Tue, Jan 24, 2023, 4:14 PM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 1/24/23 22:32, Kristofer Munsterhjelm wrote:<br>
<br>
> I would say that it's not so much that clone winner is linked to <br>
> compromising and clone loser to burial, as that they're linked to <br>
> nomination incentive. For instance, with enough candidates in impartial <br>
> culture, Ranked Pairs and Schulze are plenty susceptible to burial, even <br>
> though they're cloneproof.<br>
> <br>
> (Though perhaps there is a more clear relation in say, a spatial model. <br>
> I don't know as I haven't checked.)<br>
<br>
A thought occurred to me: it might be that the reverse implication is <br>
true: that we can't have vote splitting clone failure without <br>
compromising incentive, and we can't have teaming without burial incentive.<br>
<br>
This seems intuitively right for Plurality and Borda: suppose for <br>
Plurality that A loses after being cloned. Then if everybody decides to <br>
rank A1>A2>A3, then that will make A1 win again; this is a compromising <br>
strategy for the A-voters. Conversely, in Borda, suppose that after <br>
cloning A, A1 wins; then in at least some elections, the B>A voters <br>
moving every A clone except A1 to equal last should make A lose again, <br>
which is a burial strategy. These countermeasures only work if the A <br>
voters or the not-A voters (respectively) hold a large enough share of <br>
the votes.<br>
<br>
But generalizing it to *every* method would be much harder.<br>
<br>
And there's the obvious question: if there are implications for <br>
vote-splitting and teaming, then what's the implication for crowding? <br>
You'd think nonmonotonicity (due to the chaos), but nope - Kemeny has <br>
crowding and is monotone.<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div>