<div dir="auto">Perhaps we need to use the entire finish order of the seed method to get an appropriate uncovered winner:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Unc(Finish Order)<br><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Initialize the variable X as the candidate highest in Finish Order.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While X is covered, replace it with the highest Finish Order candidate that covers it. EndWhile.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Elect the updated X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I would like to suggest as the seed method the following version of MaxMinPairwise Support:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let M be the matrix whose entry in column k of row j is the number of ballots on which candidate j is ranked ahead of or equal to candidate k (but not truncated).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In particular, the i_th diagonal entry M(i,i) is the number of ballots on which candidate i is ranked.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Sort the entries in each row in non-decreasing order from left to right. Note that this sort moves the diagonal entries of M  to the extreme right of each row.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While keeping track of the correspondence between rows and candidates, sort the rows lexicographically so that row R is above row R' iff R(i)>R'(i), where i is the first place where the two rows disagree.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The order of the rows induces the modified finish order of the respective candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If I'm not mistaken, the following variant of the FBC is satisfied by this version of MaxMinPairwise Support (before the uncovering modification):</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the winner W of this method is ranked top on ballot B, and the winner changes when F is moved to equal top with W on ballot B, then the new winner must be F. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Example:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">48 C</div><div dir="auto">28 A>B</div><div dir="auto">24 B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The MaxMinPS finish order is C>A>B, and C is already uncovered.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Comments?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sat, Jan 14, 2023, 12:53 AM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div>Very Good!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I have another more elaborate application of max gradient in mind, but I was hoping that some choice of seed would be good enough for a simple stand-alone max gradient. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Too bad Brenham's Gross Loser Elimination is not monotone.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><br><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Jan 13, 2023, 5:39 AM Kevin Venzke <<a href="mailto:stepjak@yahoo.fr" target="_blank" rel="noreferrer">stepjak@yahoo.fr</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">Hi Forest,<br>
<br>
Let's tackle this question first:<br>
<br>
> Also how does DSC do with regard to Chicken Defense?<br>
<br>
I'm glad you asked. DSC is a ""great"" CD method, maybe the only one.<br>
<br>
I have complained before that the CD criterion allows the larger faction in a fragmented<br>
majority to truncate without issue. That seems like a problem both philosophically (i.e.,<br>
what is the significance of faction size in a chicken game?) and also practically (i.e. a<br>
faction might truncate out of an erroneous belief that their faction is the large one).<br>
<br>
Consider this election:<br>
<br>
40 A<br>
35 B<br>
25 C>B<br>
<br>
IRV and Condorcet methods go soft and let B win. Maybe B was driving a truck and C was<br>
driving a car. But with DSC justice is blind. It stands its ground and elects A, handing<br>
the fragmented majority a well-earned punishment!<br>
<br>
And it goes much further:<br>
<br>
100 A>B<br>
99 B<br>
98 C>B<br>
97 D>B<br>
... etc<br>
50 Z>B<br>
<br>
DSC will still elect A.<br>
<br>
> I wonder how this DSC-with-max-gradient-finisher would do:<br>
> <br>
> Initialize X as the DSC winner. Then ...<br>
<br>
I tried this with a few methods (DSC, DAC, FPP, approval) as I felt unsure you really meant<br>
to pick DSC for this. However, I seem to find that generally, no matter the seed method,<br>
this approach is violating monotonicity. Maybe this is creating ways to rig the initial<br>
chain head.<br>
<br>
> While X is covered, replace X with the candidate X' with the strongest defeat against X<br>
> among those candidates that cover X.<br>
> <br>
> Elect the last value of X... i.e. the first X that turns out to be uncovered.<br>
> <br>
> Does any of the DSC burial resistance flavor make it through this afterburner?<br>
<br>
DSC isn't particularly burial-resistant. Its significance is in lacking truncation<br>
incentive. But since it likes to agree with FPP, that might moderate the burial issue.<br>
<br>
As far as simulations:<br>
<br>
Seeding with FPP or DSC made it a lot worse with minimal defense, so I can't say I like<br>
those ones.<br>
<br>
Some best-to-worst rankings for each seed type, and also C//A, with four candidates:<br>
<br>
Compromise:<br>
DAC > Approval > C//A > Gross score > DSC > FPP<br>
<br>
Truncation:<br>
FPP > DSC > DAC > Gross score > Approval > C//A<br>
<br>
Burial:<br>
C//A > FPP > Approval > DAC > DSC > Gross score<br>
<br>
For burial, FPP is the best seed probably because you can't manipulate the initial chain<br>
head through adjusting your lower preferences.<br>
<br>
In general it seems like the covering rule will introduce burial, because it gives voters<br>
some levers to indirectly attack a potential chain head.<br>
<br>
Kevin<br>
<a href="http://votingmethods.net" rel="noreferrer noreferrer noreferrer" target="_blank">votingmethods.net</a><br>
</blockquote></div></div></div>
</blockquote></div>