<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Tue, Nov 1, 2022, 2:36 PM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" target="_blank" rel="noreferrer">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 11/1/22 04:58, Forest Simmons wrote:<br>
> Great!<br>
> <br>
> One way to extend the reals to allow comparison of quantities that are <br>
> "incommensurate" with standard real ratings ... is to allow polynomials <br>
> in epsilon as ratings.<br>
> <br>
> Another thought ... the Ultimate Lottery method allows ballots to be <br>
> arbitrary positively homogeneous functions of the lottery probability <br>
> variables ...<br>
> <br>
> f(p1, p2,  ... p_n)<br>
> <br>
> The Ultimate Lottery is the point P of real n-space that maximizes the <br>
> product of the ballots, subject to the non-negativity constraints p_k <br>
>  >=0, and the normalization to unity of the Sum p_k .<br>
> <br>
> The one person, one vote condition is that all of the ballots have the <br>
> same degree d of homogeneity.<br>
> <br>
> f(lambda*p)=f(p)*lambda^d<br>
<br>
I think you'll have to explain that in more steps :-)<br></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"></blockquote></div></div><div dir="auto">In due time ...</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<br>
What would polynomial ratings look like in practice? Would they have a <br>
different ballot format, or ask for different data, than vNM type <br>
ballots? </blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A polynomial can be represented as a sequence of coefficients, each of them a rating on a scale of zero to 99, with an understanding that the k-th coefficient is multiplied by epsilon^k.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Addition is by addition of the sequences, which, in this case are functions from non negative integers into the whole numbers between zero and 99. So you add them the way you add functions.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Comparisons of magnitudes are by ignoring the higher degree terms except when the lower degree terms are tied.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">And would there exist a way for an honest voter to provide an <br>
unambiguous honest ballot consistent with his state/preferences?<br></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Since affine combinations of polynomials are by addition, multiplication, and division by positive reals, I don't see a problem ... we need to explore it to see if there are unanticipated problems. But I'm sure this has already been done.</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<br>
The Ultimate Lottery sounds a bit like the Nash solution for envy-free <br>
division, where you maximize the product of utilities.</blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In this case the product of the expectations of the respective ballot ratings.  I don't know if Nash thought of this election methods application, but we called it the Nash Lottery in our second voting lottery article.</div><div dir="auto">The Ultimate Lottery is a generalization.</div><div dir="auto">In the Nash lottery a ballot is a function of the form</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">p-->f(p)=r•p </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So obviously f(lambda p)=lambda f(p), which shows f to be homogeneous of degree one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">p-->(Sum (a_k*p_k)^n)^n</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Is also homogeneous of degree one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">As n approaches infinity, this L_n norm approaches the sup norm</div><div dir="auto">Max(a_k*p_k), which is also homogeneous of degree one.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">When proving the Nash lottery to be a proportional lottery, you define the Lagrangian to be</div><div dir="auto">Sum log(f(p))-lambda(Sum(p_k)-1), and set its gradient to zero for stationarity. The lambda is the lagrange multiplier for constraining total probability to unity.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Follow your nose and the Nash allocation of probabilities falls right into your lap.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">After going through that for the Nash Lottery, do the same thing for the Ultimate Lottery, making use of Euler's Partial Differential Equation for homogeneous functions when it is needed; You can derive it for yourself by taking the gradient of both sides of the homogeneity condition ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">f(lambda p)=f(p)lambda^d</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">All of this is somewhere in the EM List archives about ten years back. But it'll be easier to recreate it by following your nose, than to find it in the archives. We never did publish it; our paper was already too long and detailed for the reviewers.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"> But I don't know <br>
all that much about the subject.<br></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"></blockquote></div></div><div dir="auto">The wikipedia article on homogeneous functions is good ... including their treatment of Euler's Theorem.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The main thing for our immediate purpose is that you can multiply a ratings ballot by any positive number without changing its contribution to the Nash or Ultimate lottery probability.</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<br>
-km<br>
</blockquote></div></div></div>