<div dir="auto">If we normalize S(X) by converting numbers of ballots to percentages, then S(X) becomes the probability that a random voter would prefer the favorite on a randomly drawn ballot, to X.</div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Thu, Oct 13, 2022, 9:14 AM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">We should call this method MEPO for .Min Expected Pairwise Opposition in comparison with Min Max Pairwise Opposition MMPO.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The main defect of MMPO is Plurality failure, which cannot afflict MEPO as long as E is the Random Favorite Lottery Expectation, i.e. the Benchmark Lottery Expectation.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">By the way, when Kevin first posted about MMPO, he based it on the same geometry that I used to describe MEPO:</div><div dir="auto">As X moves further from Y, the number of ballots that prefer Y over X increases.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, Oct 12, 2022, 11:29 PM Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" target="_blank" rel="noreferrer">forest.simmons21@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">A generalized median voting method  elects the alternative that minimizes the total distance to the ballots. But how do we gauge the distance from an alternative to a ballot in the Universal Domain context?<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One piece of the puzzle is that <span style="font-family:sans-serif">the position of a ballot B in issue space is most simply represented by the position of the most favored alternative on that ballot Y=f(B). </span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">So we need a metric d(X,Y), for the distances between the various possible positions of the respective alternatives (X), and the fixed positions (Y) of the ballot favorites.</span><br><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The simplest metric I can think of in the Universal Domain context for the distance from a moving (i.e. adjusting towards minimality) alternative X to a fixed alternative Y, is the number of ballots on which Y is preferred over X. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This makes sense, because as X moves directly away from stationary Y, the number of ballots on which Y is preferred over X can only increase.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Put these pieces of the puzzle together and we can model the total distance from X to the ballots as the sum ..</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">S(X)=Sum(over Y) of d(X, Y)*f(Y),</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">where d(X,Y) is the number of ballots on which Y outranks X, and f(Y) is the percentage of ballots on which Y is the favorite alternative.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the purest median method I can come up with in the UD context is to elect argmin S(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If I am not mistaken, this method satisfies the FBC.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If you prefer that the winner be uncovered, you can trade in the FBC for Landau efficiency by attaching a Landau afterburner:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While argmin S(X) is covered, eliminate X, and replace it with the remaining alternative closest to X in its value of S among the alternatives that cover X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div></div>
</blockquote></div>
</blockquote></div>