<div dir="auto">The most common way of converting a clone dependent method into a clone free method is to replace a sum with a max or min. For example clone dependent Borda ... which minimizes the sum of pairwise oppositions gets converted to MinMaxPO. Similarly the version of Copeland that minimizes the number of defeats gets converted to minimizing the maximum defeat cost.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's try this idea for de-cloning the Kendall-tau metric:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Kendall-tau cost of converting one ranking of the alternatives into another is simply the number of swaps or transpositions of adjacent pairs required. To convert this naive metric into a clone free metric, focus on the cost of the most expensive swap in the conversion.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In this context the cost assessment of a single swap XY to YX should be jointly proportional to the approval of X and the disapproval of Y, since X gets lowered and Y gets raised.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the Universal Domain context, in place of approval and disapproval, respectively, the most natural cost factors would be the min pairwise support and the max pairwise opposition, respectively.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This version of Swap Cost is probably the easiest version to sell because of its close relationship to the familiar MinMax idea.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">My other (original) Swap Cost measure is based on the favorite and anti-favorite lottery probabilities as outlined below; using lottery probabilities where the sum of the clone probabilities equals the probability of the cloned alternative ... is the only other fruitful de-cloning general strategy that I know of.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Here's the example of that strategy for my original version of "Swap Cost", for the purpose of de-cloning Kendall-tau:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">To declone KY, just replace the Kendall-tau metric with a clone independent metric. My proposal for such a metric is the Swap Cost metric: </div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">The cost of an elementary order reversal (transposition) XY to YX in a permutation(i.e. a complete ranking) of the alternatives is the product fX*f'Y, where the respective factors are the favorite and anti-favorite lottery probabilities for X and Y, respectively.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">The Swap Cost of changing one permutation (complete ranking) into another is the sum of the costs of the elementary swaps required.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">To see the clone independence, let X and Y be replaced with clone sets {X_k} and {Y_k}, respectively.  Then the product fX*f'Y becomes</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">(Sum fX_j)*(Sum fY_k), which expands to</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">Sum (over j and k) of fX_j*fY_k, </div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif;font-size:12.8px">which is precisely the sum of the elementary swap costs involved.</div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That's it. So from now on let's make a point of using the MinMax measure of Swap Cost in place of the</div><div dir="auto">clone dependent Kendall-tau metric. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Again, note that this new MinMax Swap Cost metric is related to Kendall-tau in the same basic way that MMPO is related to Borda and Copeland.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div>