<div dir="auto">Here's a conceptually simpler formulation that also automatically resolves ties.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Define the cost of a beatpath A>B>C>... as the polynomial C(N) whose k_th  degree term (for k=0,1,2...) is N^k times the losing votes of step (k+1) in the beatpath.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If N is sufficiently large, between two beatpaths the one with fewer steps will be cheaper. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It follows that the method that minimizes the maximum beatpath cost from X to the other alternatives, will always elect an uncovered candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So that's the method we want: elect the candidate X that minimizes the maximum beatpath cost from X to the other candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that the last step dominates the cost, while the cost of any earlier steps still contributes enough to prevent ties.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Thinking of the blob picture of MMMPO, the first step (in the winning beatpath) is from X to some other point Z in the blob ...while the other step (if needed) is from Z to Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Isn't this a conceptually simpler way to formulate MMMPO?</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Simple enough for a public proposal?</div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El lun., 1 de ago. de 2022 2:12 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div>I want to clean it up and name it MinMaxMinPO or MMMPO, in comparison (and contrast) with MMPO (MinMaxPairwiseOpposition).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">MMPO elects the candidate X whose maximum pairwise opposition (from Y, say) is minimal.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In other words, MMPO elects the candidate X whose most reluctant holdout Y resists the least against surrendering.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">MinMaxMinPO also elects the candidate X whose most reluctant holdout Y is least resistant... the only difference is the degree of "surrender" in the two cases.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In the MMPO case, we're talking complete surrender ... Y resists moving from its original position all of the way to X itself.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In the partial surrender MinMaxMinPO case Y only resists moving from its original position to the frontier of a neighborhood ND of X; </div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In this case Y is not required to go all of the way to X ... but is allowed to stop as soon as it reaches the border of the "thrall of X", defined as the set of alternatives defeated by X.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Let ND(X) be the closed neighborhood of X defined as the set of alternatives not defeating X, which is the same as the closure of the thrall of X. This closure is the set of candidates defeated or tied by X, including X itself.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">The resistance of Y against entering the thrall of X is defined as Min(over Z in ND(X)) of #[Y>Z].</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In other words, the smaller the number of ballots on which Y outranks Z, i.e. the smaller #[Y>Z], i.e. the smaller the pairwise opposition of Y to Z, the less difficulty getting Y to surrender to Z.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In summary, we elect the candidate X whose max opposition to ND(X) is minimal, where the opposition of Y to ND(X) is defined as its least pairwise opposition to any member Z of ND(X).</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">The alteration of min's and max's is logically the same as a corresponding alteration of Existential and Universal quantifiers, a measure of logical complexity ... which is why people get confused by MinMax ... "Do you mean Min or Max? ...make up your mind!"</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">All the more with MinMaxMin!</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">But the picture makes it easy ... a blob ND(X) centered on X, with a few scattered points surrounding the blob, one of which (Y) is furthest from the blob. The more remote Y, the more opposition Y has to surrendering to the blob. That's the opposition we're trying to minimize by electing the right X.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">What's the advantage over ordinary MinMax? </div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">The advantage is a subtle one... the conquering emperor doesn't have to drag all of her new vassals into the Capitol of her empire ... but only to the frontier of her control.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">In terms of our method ... it turns out to yield Landau efficiency, and softens the inevitable compromise that happens in all non-FBC Universal Domain methods, including all UD Condorcet Compliant methods.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">MMPO is about as close as you can get to being Condorcet Compliant for an FBC method.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">MinMaxMin is about as close as you can get to FBC for a UD Landau efficient method, or so it seems to me.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">If C covers X, then the blob for C  expands, generically shrinking the distance from Y (or the new Y) to the blob. So the max opposition against C is less than the max opposition against X.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Similarly, if X gets increased pairwise support, the opposition of Y against any member Z of ND(X) does not increase, and in the case of Z=X it decreases.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">ETC. The method seems to be monotone.</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">Help me find its Achilles heel!</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif">-Forest</div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><div dir="auto" style="font-family:sans-serif"><br></div><br></div><div dir="auto"><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El sáb., 30 de jul. de 2022 5:17 a. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">It must be the 40 degree Celsius heat wave frying my brain: D(X) is supposed to be the candidates defeating X, not defeated by X. And so D'(X) should be the set of candidates that do not defeat X.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I apologize... right mental picture ... wrong verbal description!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I have made this same error before ... in the context of Decloned Copeland.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So let me run this past you ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let FX) be the First place preference total of all candidates that do not defeat X. If no candidate defeated X, then F(X) would just be the total number of ballots ... which suggests electing the candidate X that maximizes F(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Anything wrong with that?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If not, then it is (arguably) the best UD Landau efficient method we could offer for public proposal (un my not overly humble opinion).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Two more days of high temperatures!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El vie., 29 de jul. de 2022 8:30 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" rel="noreferrer noreferrer noreferrer" target="_blank">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto"><p dir="ltr">Kristofer,</p><p dir="ltr">[For the record I am cc-ing this to the EM list.]</p><p dir="ltr">While pondering the geometry of our agenda deas for Landau efficient methods, the following idea for a  Universal Domain Landau Efficient method came into focus:<br></p></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For each alternative X let D(X) be the set of alternatives that defeat X pairwise, and let D'(X) be its complement. Note that X is in D'(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our idea is that the closer D(X) is to being engulfed by D'X), the closer X is to being undefeated.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So how do we measure how much D'(X) would have to be enlarged in order to swallow up D(X)?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">By the distance from the member of D(X) that is furthest from the unswollen D'(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The distance of an alternative Y to the set D'(X) is defined as</div><div dir="auto">dist(Y, D'(X))=Min over Z in D'(X) of dist(Y,Z), i.e. the distance from Y to its nearest neighbor Z in D'(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So to engulf D(X) the frontier of D'(X) has to be extended outward a distance of Extend(X)=Max over Y in D(X) of dist(Y,D'(X)).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The less extension needed, the better, so we want to elect argmin(Extend(X))</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The only thing left is to pick an appropriate distance metric.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If we want to remain in the Universal Domain category, it seems to me that the best gauge of dist(Y, Z) is the disappointment incurred by moving from alternative Y to Z, in other words, the number of ballots that prefer Y over Z.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that if A covers B, then it is (in general) easier for D(A) to engulf D'(A) than for D(B) to engulf D'(B), so this method naturally elects uncovered candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">There is a natural way to break ties that makes this Landau property snug ... by expanding/extending the engulfing frontier gradually, while keeping track of how much expansion is needed to swallow up the respective candidates one by one ... but for now we won't worry about the details.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Does this make sense?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Any obvious defects?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The basic idea that came from pondering our agenda covering Landau  method (in connection with its Banks efficient mimic) is that it minimizes the max distance to D'(X) or "theall(X) union {X}" instead of minimizing the max distance to X itself as per standard MinMax. Similarly, the Banks version minimizes the max distance to a dense subset of D'(X) [a chain that covers D'(X].</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">["dense" because every member of D'(X) is just one small step away from the chain]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the topology of digraphs guides our intuition as always!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>
</blockquote></div></div></div>
</blockquote></div>