<div dir="auto">I have never been completely satisfied with my previous attempts at Designated Strategy Voting, where the strategy converts a set of Score ballots into a set of approval ballots and elects the approval winner, but hope springs eternal.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">My new idea combines insights from Michael Ossipoff and Martin Harper among others.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Among Ossipoff's rules of thumb for Approval voting was, "Approve the candidate you would have voted for under one mark Plurality, as well as everybody you prefer over her.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This sensible advice was a constructive, mild rebuke to anybody who claimed that traditional Plurality strategy was easier than Approval strategy.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now, how can we use this insight to automatically convert ratings into approvals?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How do we figure out whom to vote for under single shot plurality?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We want to spend our one vote on the decent candidate who has the most support among other voters, or on the most decent candidate who has a chance of winning.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We judge "decency" by the debates, public record, hair style, etc. But how do we judge support among other voters?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It would help if we had the results of an opinion poll. Then we could use Martin Harper's insight ... vote for the decent guy with the most support.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How to quantify this?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Since popular support and decency are both important considerations for how to spend our vote, why not vote for the candidate who maximizes the product of viability and suitability?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now shifting to the point of view of the DSV decision maker ... the one responsible for converting Score ballots into Approval ballots ... we take the ballot scores to be quantified measures of voter estimates of suitability.  But what about estimates of viability?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If we had an Approval style opinion poll, that would serve, but we can only use the information on the ballots ... no external polls. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It's starting to sound circular ... in order to figure out the ballot approval cutoffs (the candidates that maximize the products of ballot ratings and viability), we need an estimate of approval from the ballots.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A simpler problem of this kind is that of solving an equation like x=1+1/x .  It looks like in order to find x you need to know x, and of course that would help.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But with algebra, you can find a positive solution x=(1+5^.5)/2.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another more general technique is by a fixed point iteration of an initial guess:</div><div dir="auto">1-->2-->3/2-->5/3-->8/5-->13/8-->21/13 ... 144/89 ... etc. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The approval problem we are dealing with is too complex for the algebraic approach, but is well suited to the iterative approach.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For the initial approval estimates a0(X) we use the average ratings of the respective candidates:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">a0(X)=(1/N)Sum (over ballots B) of B(X), </div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">where B(X) is the ballot B rating of X, and N is the number of ballots.</span><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our next approvals a1(X) are based on ballot approval cutoffs given for each ballot B, by C(B)=argmax(B(X)a0(X)).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In general, the next approval estimates a'(X) are determined from the current approval estimates a(X) by use of the ballot cutoffs C(B)=argmax(B(X)a(X)).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To be definite ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">a'(X)=(1/N) #{B| B(X)>=B(C(B))}</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that C(B) is the candidate with the greatest product of suitability and support according to ballot B and the current estimates of viability. In other words, according to my interpretation of Martin Harper's idea, C(B) is the candidate deserving the Plurality vote from ballot B. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It follows from Ossipoff's rule of thumb, that if X is rated above or equal to B(C(X)), then X should be approved on/by ballot B.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So if a_n(X) is a(X), then a_(n+1)(X)=a'(X). </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the sequence a0(X), a1(X), ...a_n(X) ...</div><div dir="auto">converges, then the limit A(X) must satisfy A'(X)=A(X). ****</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our DSV method not only provides a list of approvals A(X) for the candidates, but also an allocation of the equivalent Plurality votes by ballot X=C(B), such that Approval winner AW is also the Plurality winner PW:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">AW=argmax A(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">PW=argmax P(X), </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">where P(X) = #{B| X=C(B)}.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In fact, if we normalize P to P' by dividing it by Sum over X of P(X), we see that P' is a proportional lottery whose probabilities are in precise proportion to the ideal  Plurality votes according to our Martin Harper heuristic.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This fact can be seen most clearly from the cutoff formula in the limit ..</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">C(B)=argmax(B(X)A(X)),</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">and the fact that for every ballot B, the unique Plurality choice C(B) for ballot B is also approved on B in its capacity of (the inclusive) cutoff candidate for ballot B, as seen from the formula ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">a'(X)=(1/N) #{B| B(X)>=B(C(B))},</span><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">where in the limit, the left hand side a'(X) becomes A(X).</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The first DSV paper I ever saw was a masters thesis by Lori???</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The output was a set of Plurality ballots. I remember thinking ... since Approval is much better than Plurality, why not have a set of Approval ballots as output?</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Later Rob Legrand did his thesis converting Score ballots to approvals among other things.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">This new DSV converts Score ballots to both Plurality ballots and Approval ballots. The Plurality choice on each ballot is the inclusive approval cutoff.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Thus, you can answer both questions: whom did I give full support to? And ... whose lottery probability increased by 1/N because of my ballot? </span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">That's your one person one vote candidate if you want to boil it down that way.</span></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">****[The Brouwer fixed point theorem proves the existence of such an approval equilibrium function A'=A,  irrespective of the convergence of the sequence a0, a1, a2, ... --> A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The proof depends on the assumption that the transformation a --> a' is continuous, and that the Score ballots are high resolution. If the ballots are low resolution, a generalization of the Brouwer theorem (the Kakutani fixed-point theorem) saves the day.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the transformation a-->a is a contraction mapping, then we don't need Kakutani or Brouwer. In fact, even if it is not a contraction mapping, it can be converted into one by an averaging process, if I am not mistaken.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Numerical experiments are needed to see if averaging is needed.]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div></div>