<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El dom., 5 de jun. de 2022 4:05 p. m., Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 06.06.2022 00:06, Forest Simmons wrote:<br>
> You mention sincere vs insincere voting ... which leads to game theory.<br>
> In game theory most optimal strategies are mixed ... stochastic<br>
> combinations of pure (deterministic) strategies.<br>
> <br>
> So it is a matter of luck if it turns out that a deterministic strategy<br>
> is optimal.<br>
<br>
Yes. I'm just referring to that physics usually doesn't "fight back" the<br>
way strategic voters do :-)<br></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That's what I thought; I was just using it as a segue into another use of probability in voting theory in the general theme of Robert Bristow-Johnson's  question.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">You are way ahead of me!</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<br>
> We think of Approval as a deterministic method, but that's only because<br>
> we have externalized optimal strategy considerations to the (cagey)<br>
> voters and their (mostly gut level) probability estimates.<br>
> <br>
> Back to multi-winner methods. A rule of thumb for a minimum number of<br>
> seats for good proportional representation is the reciprocal of S=Sum<br>
> (p_i)^2, where p_i is the probability that candidate i would get elected<br>
> by random favorite ballot.<br>
<br>
A related connection is to Laakso and Taagepera's effective number of<br>
parties: <a href="https://electowiki.org/wiki/Effective_number_of_parties" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electowiki.org/wiki/Effective_number_of_parties</a> which<br>
describes a party distribution as equivalent to a certain number of<br>
"equally sized" parties. E.g. a dominant-party system may have an ENP<br>
measure of 1.3, signifying that the second party has significantly less<br>
support (or representation) than the first.<br>
<br>
This measure is also 1/p_i^2 and has been criticized for being not<br>
uniform enough (i.e. not providing the same results for lots of small<br>
parties as a few large ones). Greene and Bevan suggested an information<br>
entropy measure instead, as I referenced in the Electowiki article.<br>
<br>
In addition, for party list PR, Webster's method minimizes the<br>
Sainte-Laguë index of disproportionality, sum over parties i: (seats<br>
given to party i - votes obtained by i)^2/(votes obtained by i). This<br>
is, if I recall correctly, related to the chi-squared test statistic:<br>
<br>
x^2 = sum over categories i: (observed counts for i - expected counts<br>
for i)^2/(expected counts for i)<br>
<br>
The chi-squared statistic in turn is an approximate G-test. The G-test's<br>
form is:<br>
<br>
G = 2 sum over categories i: (observed counts for i) * ln ( observed_i /<br>
expected_i),<br>
<br>
which looks vaguely like an entropy term. Wikipedia says it's related to<br>
mutual information, but I know too little about this to comment.<br>
<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/G-test#Relation_to_mutual_information" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/G-test#Relation_to_mutual_information</a><br>
<br>
(Finally, speaking of random favorite, I wrote a post about a<br>
semiproportional determinization of it for multiwinner, here:<br>
<a href="http://lists.electorama.com/pipermail/election-methods-electorama.com/2019-October/002323.html" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://lists.electorama.com/pipermail/election-methods-electorama.com/2019-October/002323.html</a><br>
Its proportionality in the limit, yet possible bad results with only a<br>
few seats shows the limits of PR as lotteries, I think. At least for the<br>
random favorite lottery. But perhaps the idea of eliminating the winner<br>
can be used to extend Plurality-based PR to ranked method PR... or be<br>
used as a component of a Condorcetian multiwinner method.)<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div></div></div>