<div dir="auto">In an EM list message dated 13 Jan 2022 under the heading "Fixing Kemeny Young," I proposed a clone free cost function to replace the  Kendall-tau metric that is responsible for the clone dependence of Kemeny-Young:<div dir="auto"><br><div dir="auto"><a href="http://lists.electorama.com/pipermail/election-methods-electorama.com/2022-January/003348.html" rel="noreferrer noreferrer noreferrer" target="_blank">http://lists.electorama.com/pipermail/election-methods-electorama.com/2022-January/003348.html</a><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Since then I have been referring to that function as "de-cloned Kendall-tau," but from now on, I will call it (more descriptively) "Swap Cost," because it is a measure of the general regret or disappointment resulting from the replacement of one candidate ranking with another ... and that cost is the sum of the costs of the transpositions or "swaps" that it takes to convert the original ranking into its replacement order.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Click on the above link for a detailed description and rationale/explanation of the desired clone independence.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The examples given hereafter will make the procedural details abundantly clear.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For now, suffice it to say that in order to convert one ranking into another we need to know (for each candidate k) the fraction or percentage f(k) of the ballots that specify k as favorite, as well as the fraction or percentage f'(k) that specify candidate k to be "anti-favorite," or most disapproved.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The disappointment cost of a single swap is the product f(k)f'(j) where, of two adjacent ranked candidates k and j,  candidate k is lowered and j is raised, so that the order kj is transposed to jk.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the more k is top choice, the greater the disappointment from k getting lowered, and the more j is last choice, the more disappointment from j being raised.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This directional sensitivity is totally absent in Kendall-tau for which every transposition incurs precisely the same unit cost, no matter which candidate is being raised or lowered.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">This directional cost dependence is like a taxicab fare where the time/distance from point X to point Y is not in general the same as the from Y to X.</span></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The classic treatise on this kind of path length asymmetry between "ida y vuelta" is a monograph entitled, "What is Distance?", by <span style="background-color:rgb(255,255,255);color:rgb(32,33,36);font-family:"google sans",roboto-medium,helveticaneue-medium,"helvetica neue",sans-serif-medium,arial,sans-serif;font-size:24px">Julij A. Šrejder.</span></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One of the greatest advantages of having a suitable cost function on rankings is that it allows a standard adaptation of any single winner Universal Domain method to be used as a basis for finding a finish order:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The key is that just as a ranked ballot shows a preference of one candidate over another, the Swap Cost reveals support of a ballot for one finish order over another:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the swap cost of converting the ballot B ranking to finish order O1 is less than the cost of converting the B ranking to order O2, then we say that ballot B supports O1 over O2, or speaking anthropomorphically, "B prefers O1 over O2."</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Once we have a ballot based preference relation on the potential finish orders, we can use any Universal Domain single winner method to find that finish order.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example River. Unlike Ranked Pairs or BeatPath CSSD, River does not automatically produce a finish order in the course of finding the single winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But once we have a preference relation (given by Swap Cost for example) on candidate rankings then we can apply the River formalism with the set of potential finish orders playing the role of the set of alternatives ... i.e. the potential finish orders become the "candidates," and the Swap Cost gives the (proximity inferred) ballot preferences among these candidate-alternatives.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We'll do a detailed example of this tomorrow.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But tonight let's just celebrate our new tool (Swap Cost) for converting any UD single winner method M (like River) into a finish order method similar to Kemeny-Young, but clone proof (unlike Kemeny-Young), provided the base method (like River) is clone-proof ... before Kristofer pops our bubble!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div></div></div>