<div dir="auto">Once you have a good metric,  like de-cloned Kendall-tau, on the ballots, you can cancel diameter endpoints until all of the remaining ballots are identical.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the ballot distribution is essentially one dimensional, it is easy to see that this cancellation process finds the median ballot, and consequently elects the Condorcet candidate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So this cancellation method is a natural choice for Condorcet completion. It seems to me that it would have robust resistance against manipulation, because the geometry has more substance than its mere face value.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A natural two candidate runoff would be between the two winners of method X ... one based on the explicit "face value" ballot preferences, and the other based on the preferences deduced from geometric proximity based affinities...no runoff necessary if the two method X counts yield the same winner.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That kind of runoff would be highly immune to manipulation.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another application of the cancellation idea (having nothing else in common with our Kendall-tau cancellation method) is an alternate way of completing single winner asset voting:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">After the asset transfer stage stalls, while there remains more than one candidate with any assets left, the candidate with the fewest remaining assets uses all of them to cancel that many assets from one of the other candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El lun., 7 de mar. de 2022 9:22 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">I appreciate very much Kevin Venzke's recent tour de force towards classification of methods by their criteria compliances ... finding seven 3-candidate, 4-faction profiles that distinguish all of the well known methods by their basic compliances.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I see this as an opportunity to put the de-cloned Kendall-tau metric through its paces. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">First a simple example with factions suitable for hand computation:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">4ABC3+3BCA+2CAB</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We need favorite and anti-favorite counts for the de-cloning:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective favorite counts f, are 4, 3, and 2. The respective a anti-favorite counts f', are 3, 2, and 4.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective costs of the basic decloned order swaps are ...</div><div dir="auto">AB to BA 4×2 from f(A)×f'(B)</div><div dir="auto">BA to AB 3×3 from f(B)×f'(A)</div><div dir="auto">BC to CB 3×4 from f(B)×f'(C)</div><div dir="auto">CB to BC 2×2 from f(C)×f'(B)</div><div dir="auto">CA to AC 2×3 from f(C)× f'(A)</div><div dir="auto">AC to CA 4×4 from f(A)×f'(C)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The respective costs from faction ...</div><div dir="auto">ABC to BCA 8+16</div><div dir="auto">BCA to ABC 6+9</div><div dir="auto">[Round trip 39]</div><div dir="auto">BCA to CAB 12+9</div><div dir="auto">CAB to BCA 8+4</div><div dir="auto">[Round trip 33]</div><div dir="auto">CAB to ABC 6+4</div><div dir="auto">ABC to CAB 12+16</div><div dir="auto">[Round trip 38]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Our method is to remove pairs of ballots that are as far apart as possible until only one faction remains:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">ABC and BCA are the furthest apart ballots with a round trip distance of 39. </span><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Removing 3  ballots from each of these factions leaves ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">ABC+2CAB </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">After removing one ballot from each of these two remaining factions, we see that the winning faction is CAB.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So this is one way to use the de-cloned Kendall-tau distance.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To do Kevin's seven examples I will need some triple A batteries for my calculator.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The most interesting part for me is that the geometrically derived preferences would be ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The 4 members of the ABC faction should geometrically prefer the CAB faction over the BCA faction because they are closer to it ... distance 38 verses 39.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The 3 members of the BCA faction should prefer the CAB faction over the ABC faction ... distance 33 versus 39.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The two member CAB faction should prefer BCA to ABC .... distance 33 vs 39.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So geometric preferences are</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">2 CAB>BCA>ABC</div><div dir="auto">3 BCA>CAB>ABC</div><div dir="auto">4 ABC>CAB>BCA</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The CAB faction is the Condorcet faction.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In other words sincere preferences seem to be</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">4 A>C>B</div><div dir="auto">3 B>C>A</div><div dir="auto">2 C>B>A</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It looks like insincere or mistaken burials of C by A and A by C.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Any other thoughts?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div>
</blockquote></div>