<div dir="auto">Kemeny-Young is a geometric method based on the Kendall-tau distance between rankings.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If we combine this idea with the Universal Domain axiom that the only relevant voter information for determining the outcome of an election is the ordinal information contained in the ballot rankings of the candidates, then for all intents and purposes we can identify the space of voters with the space of candidate rankings.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's see where this leads when we adopt the Kendall-tau distance as a metric on the ballot space.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example, consider the ballot profile</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">40 A>B>C</div><div dir="auto">35 B>C>A</div><div dir="auto">25 C>A>B</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Kendall-tau distance between any pair of the three faction rankings is exactly two units of distance; it takes a minimum of two swaps to turn a permutation of three symbols into another such permutation of the same cyclical parity.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So geometrically the three distinct ballot orders of the three respective factions represent voters at the three respective vertices of an equilateral triangle of side two unts. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that the candidates themselves are supposed to be voters. Which of the three ballot orders gives A's position on the equilateral triangle? And which represent B and C?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It's not hard to see by a process of elimination (and assumption of sincere ballot preferences) that A has to be at the A>B>C ballot position, B at the B>C>A position, and C at the C>A>B vertex of the equilateral triangle.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If that is the case, how can we take seriously the ballot order of the 40 members of the A>B>C faction that says that they unanimously, strictly prefer candidate B to candidate C?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">All forty of them are equally close (a distance of 2 units) to candidates B and C. How is it that not even one of them prefers C to B?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Evidently the Kendall-tau metric is not consistent with all geometric based affinities.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So what do we do when our randomly generated factions give us a profile that is inconsistent with the Kendall-tau metric? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Suppose that it was generated by random points in Euclidean space with a Euclidean L_2 metric or some other vector space metric. Then what do we say when it is not consistent with the Kendall-tau metric?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Which do we trust more ... L_p metrics or Kendall-tau?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The best answer to that depends on how seriously we take the Universal Domain axiom. Kendall-tau is topologically compatible with Universal Domain, while the vector space metrics are not.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But, you object, Kemeny-Young, based on Kendall-tau is clone dependent.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Two replies:(1) so are the L_p metrics in most ballot profile generation contexts. (2) Kendall-tau is easily de-cloned while completely retaining its UD compatible topology </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For clarity let me reiterate: no vector space metric is topologically compatible with Universal Domain.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Personally, I'm not afraid of coloring outside of the lines ... most of my favorite methods are hybrids that violate UD ... but UD purists need to know the inherit UD inconsistency in geometrically generating ranked choice ballot profiles with UD incompatible topology ... namely flat vector space topology as opposed to the curved space topology of permutation/ranking space, which resides on the boundary of an (n-1) dimensional ball when there are n candidates.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I hope this "abstract nonsense" (as Professor Klaus Bichtler used to glowingly call it) has helped to connect certain conceptual categories in relation to each other. Our understanding grows as our internal network of such connections becomes more complete ... especially as the degrees of separation from familiar intuitive concepts decrease.</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El mié., 16 de feb. de 2022 4:47 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El mié., 16 de feb. de 2022 4:33 a. m., Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">km_elmet@t-online.de</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 16.02.2022 08:58, Forest Simmons wrote:<br>
> Suppose you had a nice metric on a candidate space for measuring the<br>
> disparity between members of the electorate, and you wanted to use the<br>
> metric to find the most representative member of the electorate. How<br>
> would you use that metric?<br>
> <br>
> There are many possibilities, but let's consider three of them that are<br>
> fairly natural and easy to understand:<br>
> <br>
> Let V be the set of voters, and let K be the subset of V consisting of<br>
> the candidates who managed to get their names on the ballot. <br>
> <br>
> 1. Elect the candidate k that minimizes the total distance to the  other<br>
> voters, i.e. elect argmin{TotDist(k,V)|k in K} where TotDist(k,V) is the<br>
> total distance from k to the other members of V.<br>
> <br>
> 2. Elect the candidate k closest to the most representative voter,<br>
> namely argmin{TotDist(v,V)|v in V}. This is analogous to the Condorcet<br>
> dictum, "elect the candidate closest to the voter median."<br>
<br>
These approaches make use of the ballots that the candidates cast,<br>
right?</blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"> </blockquote></div></div><div dir="auto">That's a possibility, but not what I had in mind. For example, in method two, once you have found the secret anonymous ballot B that minimizes the total distance to the other ballots, just assume that ballot B's favorite is the candidate closest to ballot B. This ballot B could well be the ballot of one of the candidates, but there is no way of knowing that. This is the same reasoning that Kemeny-Young uses to identify the candidate closest to its idealized ballot.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another possibility is (for each candidate k) find the ballot B(k) that minimizes the total distance to the ballots that rank k as favorite. Then consider B(k) to be the position of candidate k in ballot space. That might be the best approach for multi-winner K-Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Arguably either one of these inferences of the location of the winning candidate is just as good as the (computationally expensive) idealized ballot inference of Kemeny-Young.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">That would seem to be more in the spirit of Asset than anh<br>
ordinary voting method. If there's a secret ballot, then the candidates<br>
are incentivized to lie on their ballots; and if the candidates' ballots<br>
are not secret, then the candidates have to predict the election<br>
accurately while still making their ballots pull the outcome in their<br>
direction.<br>
<br>
There's nothing wrong as such with the second - it fits with the Asset<br>
principle of offloading the strategic burden on the candidates<br>
themselves - but one should be aware that it's not an ordinary voting<br>
method and couldn't be used for choosing what movie to watch, budget<br>
item to fund, or similar.<br>
<br>
...<br>
<br>
That makes me think, though. Could one say that the distinguishing<br>
feature of proxy and Asset-type elections is that they violate<br>
anonymity? This because the proxies are privileged in the sense that<br>
their votes are amplified by however many other voters decide to back them.<br>
<br>
Perhaps not so much for traditional Asset, where you first choose a<br>
"parliament" that then negotiates until some winner crosses a threshold.<br>
That method has multiple rounds: first voting for assets, then the<br>
parliamentary formation, then the final winner is decided; and it<br>
doesn't violate anonymity in either round.<br>
<br>
But a one-shot Asset-like where you either designate a proxy (whose vote<br>
you'll copy) or vote directly... would. I think.<br>
<br>
-km<br>
</blockquote></div></div></div>
</blockquote></div>