<div dir="auto">Suppose you had a nice metric on a candidate space for measuring the disparity between members of the electorate, and you wanted to use the metric to find the most representative member of the electorate. How would you use that metric?<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">There are many possibilities, but let's consider three of them that are fairly natural and easy to understand:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let V be the set of voters, and let K be the subset of V consisting of the candidates who managed to get their names on the ballot. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">1. Elect the candidate k that minimizes the total distance to the  other voters, i.e. elect argmin{TotDist(k,V)|k in K} where TotDist(k,V) is the total distance from k to the other members of V.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">2. Elect the candidate k closest to the most representative voter, namely <span style="font-family:sans-serif">argmin{TotDist(v,V)|v in V}. This is analogous to the Condorcet dictum, "elect the candidate closest to the voter median."</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">3. Find the point p in the space of possible ballots that minimizes the total distance to the actual ballots. Then elect the most preferred candidate on that idealized ballot.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">Number 3 strongly depends on the Universal Domain requirement that the only admissible information for determining the winner of the election is the ordinal information contained in the ballots of the voters,. So if our method depends on a distance metric between voters, that metric must be completely determined by the voters' ordinal ballots.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">In the case of Kemeny-Young, method three is the method used. The metric in question is the Kendall-tau distance between rankings. The idealized ballot ranking that determines the winner may or may not be one of the actual ballot rankings.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The computational complexity of K-Y is not inherent in the Kendall-tau distance calculations. Rather it stems from the sheer number of possible idealized ballots. So methods one and two have available (low degree) polynomial time counting procedures, despite their fundamental use of the Kendall-tau metric. [The same goes for my de-cloned version of K-Y based on a clone free version of the Kendall-tau metric.]</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">The winning idealized ballot not only decides the election winner, it also suggests an entire "social order" or "finish order" of the candidates.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">That's nice, and some applications may require it, but when the number of candidates is large, the computational burden has to be forestalled one way or another. </span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">More to the point ...the idealized finish order is not needed in single winner elections. Either of the first two methods above works great. In the extremely rare case where they do not agree, you can elect the pairwise winner of the two methods.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">What got me thinking about this was Colin Champion's question about a metric characterization of multi-winner/PR methods.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">¿How would you make use of a decent metric on candidate/voter/ballot space to compose (like a musician) a good multi-winner method? ... or for starters, to choose between two or more proposed posible winning "slates" ....?</span></div><div dir="auto"><br></div></div>