<div dir="auto"><div><br><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El jue., 3 de feb. de 2022 2:34 p. m., Daniel Carrera <<a href="mailto:dcarrera@gmail.com">dcarrera@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div></div><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Thu, Feb 3, 2022 at 2:15 PM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" target="_blank" rel="noreferrer">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Great!<br>
<br>
I was browsing the scipy.stats.qmc manual and noticed it has a third<br>
method, Latin hypercube, explicitly designed for cubes. Would this<br>
method be applicable to your problem, if you use the function g that's<br>
zero outside of the simplex and Gaussian inside it?</blockquote><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">I tested it, and it didn't do as well as Sobol. The Latin Hypercube was a little faster than the Halton sequence but a little less accurate. I think Sobol has a huge advantage because (according to Wikipedia) there is a fast implementation based on low-level bitwise operations and that's just hard to beat with regular arithmetic.</div></div><div><br></div><div> <br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Does the proportion<br>
of the cube occupied by the simplex vanish too quickly as d increases?<br></blockquote><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">I ran a test. It's certainly an issue, but not quite as bad as I had expected. First, the library can easily detect the polytopes that are completely empty. For the rest, I ran 10 sample elections with candidates uniformly random in the unit cube. The proportion of the cube occupied by the polytope seems to approach 10% as I get closer to 8 dims.</div></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">N_candidates = N_dim + 1</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">2 Dims: v = 0.535417 +/- 0.236171<br>3 Dims: v = 0.256944 +/- 0.134119<br>4 Dims: v = 0.156250 +/- 0.065763<br>5 Dims: v = 0.134810 +/- 0.035892<br>6 Dims: v = 0.125693 +/- 0.009282<br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">That said, higher dimensions do get more expensive for other reasons --- like the fact that you have (N_dim+1)! polytopes. I was planning to run the simulation till N_dim=8 but I've been waiting for N_dim=7 to finish and it just doesn't want to finish.<br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">I would also imagine that you could reduce the dimension by one by using<br>
a standard 1D Gaussian integral over the last dimension as long as you<br>
can do line-simplex intersections to determine what line you should<br>
integrate over. But perhaps the general covariance problem you mentioned<br>
earlier would make this impractical - that it would be rather difficult<br>
to line up the Gaussian integral with that line in the remaining dimension.<br></blockquote><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Yeah. If we assume that the Gaussian is fully symmetric (which feels a bit restrictive) you could imagine drawing radial lines and figuring out where they cross the polytope. The details could be a bit complicated. I have no idea if that would be faster, but I could try something like that. I can't work on this idea right now, but I didn't want to dismiss it.</div></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">On a related note, I was reading James Green-Armytage's paper about<br>
strategic voting: <a href="http://jamesgreenarmytage.com/strategy-utility.pdf" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://jamesgreenarmytage.com/strategy-utility.pdf</a>. On<br>
page 21, he states that an 8D spatial model is a good fit to the<br>
political poll model, while 1D is not quite as good. He doesn't mention<br>
intermediate dimensionality models, but it may provide a reason for<br>
supporting high dimension spatial models (as long as the fit keeps<br>
improving even when going from say, 7D to 8D). It does, I think, provide<br>
pretty good evidence that there's little need for going beyond 8D, at least.<br></blockquote></div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If a poll has potential voters fill out a questionnaire with where they self locate on 40 issue, you end up with a forty by n matrix M, where n is the number of voters that submitted their completed questionnaires.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If you then diagonalize the 40 by 40 matrix that is the matrix product of M by its transpose ... the eigenvalues along the diagonal with reveal the relative significance of the respective issues. When you get to an eigenvalue that is a order of magnitude smaller than the largest one, you can conclude that the remaining issues were not as relevant to the voters or else weaker clones (correlates) of the more interesting/important/controversial issues.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Evidently James Green-Armytage made a judgment on where the drop in "singular value" magnitudes became significant.</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
</blockquote></div><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">It's good to have a maximum. I hope we can get away with fewer than 8 dimensions. Regardless of the true political dimensions of the electorate, if you only have N<8 parties, those parties will lie in an (N-1)-dimensional subspace. That's why I suspect that we can get away with modelling a lot less than 8D and just be aware that I'm only modelling the subspace of political positions that is actually spanned by the candidates. The US is a specially pathological example, where apparently your views on LGBT rights somehow dictate your views on sex education, AR-15s, tax law, climate change, vaccines, and the Israel-Palestine conflict.</div></div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">PR is supposed to help fix this, but ingrained traditions are hard to buck ... and (obviously) PR has no chance at all of helping if we never adopt it.</div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Cheers,</div>-- <br><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Dr. Daniel Carrera</font></div><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Postdoctoral Research Associate</font></div><div><font face="trebuchet ms, sans-serif">Iowa State University</font></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div></div></div>