<div dir="ltr"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small">So I implemented my proposed "voter mass function" based on integrating "voter density" across a polytope. I have run some benchmarks on a sample 2D polytope (small dimension, but relevant to real elections). I implemented regular Monte Carlo (MC) integration, as well as the Quasi Monte Carlo (QMC) suggested by Kristofer. The QMC method was done with both a Halton and a Sobol sequence. The voter density function is a Gaussian distribution. Here are my results:</div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small">1) The Halton sequence is apparently very expensive to generate. Most of the cost of QMC is spent just generating the sequence apparently. Despite this absurdity, it still manages to match MC in terms of cost for a given level of accuracy. QMC/Halton can match the accuracy of MC for much lower N (number of points) and that roughly compensates for the lack of speed.</div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><div class="gmail_default">Target Relative Error: < 1e-3</div><div class="gmail_default"><br></div><div class="gmail_default">QMC/Sobol:    N = 2^12 --- time = 0.000520s</div><div class="gmail_default">QMC/Halton:   N = 2^13 --- time = 0.000671s</div><div class="gmail_default">Regular MC:   N = 2^20 --- time = 0.081216s</div><div class="gmail_default"><br></div></div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small">2) The Sobol sequence has about the same accuracy as Halton (slightly better in this example), but it is just as fast as regular MC (slightly faster). The overall result is impressive; especially at higher accuracy.</div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><div class="gmail_default"><div class="gmail_default">QMC/Sobol:    N = 2^24 --- time = 1.96s --- error = 1e-6<br></div><div class="gmail_default">QMC/Halton:   N = 2^24 --- time = 31.1s --- error = 2e-6</div><div class="gmail_default">Regular MC:   N = 2^24 --- time = 1.89s --- error = 2e-4</div><div class="gmail_default"><br></div><div class="gmail_default">I'll still try to find some sort of quadrature rule that can be faster and more exact, but I'm finding the subject difficult to understand. My baseline expectation is that I'll just stick to QMC/Sobol.</div><div class="gmail_default"><br></div><div class="gmail_default">Cheers,</div></div></div></div>-- <br><div dir="ltr" class="gmail_signature"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Dr. Daniel Carrera</font></div><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Postdoctoral Research Associate</font></div><div><font face="trebuchet ms, sans-serif">Iowa State University</font></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>