<div dir="ltr"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Wed, Jan 26, 2022 at 6:53 AM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">So when figuring out the proportion who'd vote A>B>C in the continuous<br>
(V->infty) case, you could first create a Voronoi map for all the<br>
candidates. The volume of this region gives you how many voters would<br>
vote A first. Then you'd take the region for A and calculate the Voronoi<br>
map within it for every candidate but A excluded. The subregion that's<br>
now closest to B gives you the number of voters who vote A>B>...; and so on.<br></blockquote><div><br></div><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">You've convinced me that there's a lot of value in doing the exact geometric solution. I would be interested to see simulations with very large numbers of voters. Real elections can have 10^7 voters. I haven't figured out how to compute the volume of a Voronoi cell, but I did have a thought: What if we simplify the problem by reducing the number of candidates and issues?</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">For real elections, we don't really care about an arbitrary number of characters or an arbitrary number of issues. Political views are often described in just a two-dimensional space, with one "economic" axis (left <-> right) and one "social" axis (libertarian <-> authoritarian). That alone is enough to describe most of politics. The number of parties can be larger, but honestly, the countries that have >3 prominent parties are few and they probably use PR anyway. If all we do is find exact solutions for 3 parties (e.g. two major parties and a challenger) or 4 parties (e.g. two major parties + Green + Libertarian) and a 2-dimensional issue space, that would be a very relevant case that would tell us a lot about the real world elections we care about.</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Finding the area of a Voronoi cell in a 2D space with just 3-4 cells doesn't sound difficult. I haven't done the math, but it feels like high school math problem.</div><br></div><div><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">However, that doesn't solve the integral. My idea was to get the (as<br>
close to exact as possible) probability that some random chosen voter<br>
will vote A>B>C. Say that this is p(A>B>C).<br>
<br>
Since the voters are independent, this then gives a probability that<br>
some random election of V voters will be of a particular type; e.g. you<br>
can figure out the probability that a three-candidate election will be<br>
e_s = (A>B>C, A>B>C, B>C>A). Let the probability that we will encounter<br>
election e be p(e). Then the probability of the example election is just<br>
p(e_s) = <span class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"></span>p(A>B>C) * p(A>B>C) * p(B>C>A).<br></blockquote><div><br></div><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">I'm a bit confused by the notation. If p(A>B>C) is the probability that a random voter picks A>B>C then what is <span class="gmail_default"></span><span style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif">p(A>B>C) * p(A>B>C) * p(B>C>A)?</span></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><span style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><br></span></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><span style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif">I also don't get what you mean by "</span><span style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif">e_s = (A>B>C, A>B>C, B>C>A)" being an election.<br></span></div></div><div><br></div></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Cheers,</div></div>-- <br><div dir="ltr" class="gmail_signature"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Dr. Daniel Carrera</font></div><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Postdoctoral Research Associate</font></div><div><font face="trebuchet ms, sans-serif">Iowa State University</font></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>