<div dir="auto">Thanks Ted and Daniel. Very interesting!<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the early 70's we did our minuteman missile simulations on a room size mainframe IBM 360/65 computer with FORTRAN code, double precision arithmetic ... punched cards interface.... and all. We got one turnaround per night.... night because the Top Secret runs had to be totally isolated from the daytime use of the computer. In 1974 our group got ahold of a couple of the mini-computers that were just coming out ... TTY "ticker tape" interface at first then (unreliable, but more convenient) floppy discs. Very slow, single precision, but interactive BASIC for the spine of the simulation. We employed pseudo-double precision for the numerical integration, and modified BASIC so we could call on assembled bottle-neck subroutines, etc.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The Top Secret, computationally high cost, high precision, spherical harmonics gravity model "GRAV 74" (mylar tape in a secure safe) became the main bottle- neck. Our project leader came up with the idea that cut the run time from several hours to real time; our simulation had to be a complete virtual reality operation with real time speed in order to fool the D37 guidance and control computer that had been extracted from a MM2 missile to test the target tapes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The idea was this  ... start with a quick (fraction of a second) approximate trajectory, and in another fraction of a second, fit a simpler model "GRAVCHICO" to the precise GRAV 74 values at half a dozen points near the approximate trajectory. So near that approximate trajectory GRAVCHICO was accurate to seven significant figures. Then we transformed the spherical coordinates to the Kustanheimo coordinates from Stiefel and Scheifele's 1971 book, Linear and Regular Celestial Mechanics.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">After that our simulation on the little dedicated, stand alone minicomputer (32K bytes) system was good for real time use ... no trouble keeping up with the D37 guidance and control computer.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now here are some thoughts on our current problem. We need an "electo-potential" scalar function V defined at every point in voter space, such that the (opposite of) grad V gives rise to a force field that points towards the (generalized) median voter. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It seems to me that a point partical located at point p0, should contribute an amount ||p-p0||=distance(p, p0) to the potential V(p) at point p.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A test particle at p would experience a force of (p0-p)/||p0-p||, a force of unit magnitude towards p0.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the particles (voters) are distributed according to some probability density P, and dP(r) is the probability in an infinitesimal volume centered at r, then a test particle at p will experience a force of </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">F=Integral(over r)of (r-p)/|r-p|||dP(r)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">or something like that.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Visualize the potential function V as a mountain range. The force field F is represented by tiny arrows pointing in the direction of steepest descent to (wet or dry) lake bottoms, local minima of V. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If there is only one drainage basin, the global minimum is the sink of that basin, and is the generalized median of the probability distribution.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To find a local minimum start at a random point p0 and evolve the initial value problem dp/dt=-gradV until two consecutive points in the numerical solution are within some preset tolerance.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Which points would make good starting points? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How about the vertices of each of the Voronoi cells centered on the candidate positions?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">What do we do with the local minima?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For each of them, calculate the candidate preference order. Those will be the stable orders that the voters of the respective drainage systems gravitate towards.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How do we find the total probability of each drainage system?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Go back and find which Voronoi vertices end up in which sinks. If necessary, triangulate the Voronoi cells with progressively finer mesh, and continue following vertices to sinks.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I hope this stimulates some ideas.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">We have all of the tools of force fields and numerical solutions of ODE's at our disposal!</span><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El lun., 24 de ene. de 2022 3:19 p. m., Daniel Carrera <<a href="mailto:dcarrera@gmail.com">dcarrera@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div></div><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Mon, Jan 24, 2022 at 4:46 PM Ted Stern <<a href="mailto:dodecatheon@gmail.com" target="_blank" rel="noreferrer">dodecatheon@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="ltr">Hi Forest,<br><br>To digress from the topic a bit, there is an O(N) method for N-body problems which has been around since the 1980s. It is called the Fast Multiple Method.<br><br>The essence of the method is that the effect of a group of objects can be approximated (outside a certain radius) as the effect of a single composite object. These composite objects can further be combined into larger scale composite objects. This is similar to Isaac Newton's approximation of gravitational effect being due to a point mass.<br></div></blockquote><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Not too similar though. Planets and stars are really well approximated by spheres, and the Shell theorem tells you that the gravitational field from a sphere is exactly identical to that of a point mass. The quadrupole moments for a planet are not usually relevant except for problems that require extremely high precision (most notably, studies of Saturnian moons). Tree codes and the Shell theorem are more or less at opposite ends in terms of levels of approximation. You wouldn't use a tree code for the solar system, for example.</div></div><div><br></div><div><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="ltr">If you just stop there, this reduces the order of operations to O(N logN).  That first stage of approximation is the effect of collections of masses on everything else in the Universe.  N-body simulations using this idea are called Barnes-Hut methods.<br><br>The key to FMM is that you can do the same thing in the other direction, finding the effect of everything <i>outside</i> a given radius on the objects inside. That can also be described as a composite object -- a multipole.  Then there is a similar set of outer-inner nested collections to convey information from the rest of the Universe to each individual particle.  This brings the number of operations to O(N).<br></div></blockquote><div><br></div><div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Fun fact, FMM only entered astronomy relatively recently, while it has been dominant in particle physics for a very long time. The difference is that the FMM methods from condensed physics are only faster than BH trees if the N-body system is largely homogeneous. That's great for condensed matter physics, but in astronomy we have ridiculously hierarchical systems and the FMM that you'll find if you do a Google search will work poorly in astronomy. It was only 8 years ago that someone developed a FMM that beats BH for hierarchical systems (Dehnen 2014).</div></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Cheers,</div></div>-- <br><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Dr. Daniel Carrera</font></div><div dir="ltr"><font face="trebuchet ms, sans-serif">Postdoctoral Research Associate</font></div><div><font face="trebuchet ms, sans-serif">Iowa State University</font></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div>
</blockquote></div>