<div dir="auto">De-cloned Borda would go particularly well with de-cloned Copeland ... but it is not necessary because one of the greatest advantages of de-cloning Copeland is that it makes ties statistically rare: unlike standard Copeland whose scores take on only integer values, de-cloned Copeland scores are almost never integers.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">And it would be a shame to help propose a clone dependent election method, especially if there is a sufficiently simple clone free version.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Here's my first attempt at a greatly simplified version without sacrificing its integrity:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Elect the candidate X that maximizes the number of its first place votes minus the number of candidates that head-to-head defeat X, weighted by the average of their first place votes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In other words, the winner is the candidate X that maximizes the difference between its own first place vote count and the total of the  first place counts of the candidates that defeat X head-to-head.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">An equivalent formulation that is more likely to yield a positive difference is ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Elect the candidate X that minimizes the score S(X), defined as the total first place vote count of the candidates that pairwise defeat X, minus X's own first place count.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The first formulation of this method most clearly shows its comparison with the standard version of Copeland, but the last formulation is easiest to work with.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now let's prove monotonicity:<br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">1. Raising X neither increases the number of candidates defeating X, nor any of their first place votes. So raising X cannot increase S(X), unless the first place votes of X decrease, which is not possible from raising X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But could raising X decrease S(Y)?</div><div dir="auto">If so it would either (1) have to decrease the number of candidates that defeat Y, or (2)lower their total number of first place votes, or (3) increase the number of first place votes of Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let's look at the first possibility ... could raising X make Y defeat or tie a candidate Z that defeated it before. Certainly not if Z=X. And if Z != X, then the relative pairwise count between Z and Y is not affected.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Saving the most difficult possibility for last, we consider (3) ... could raising X, increase the first place count of Y. No, it could only decrease Y's first place votes.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Lastly, (3) how about lowering the total number of first place votes among the candidates that pairwise defeat Y?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If X replaces Z as first place on some ballot, then X's first place count increases, (which decreases S(X)) while Z's first place count decreases, possibly decreasing S(Y) by the same amount as S(X). This is no problem if X defeats Y (because that would increase S(Y)), or if Z does not defeat Y, because that would have no effect on S(Y).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The only problem is if S(Y) decreases by more than S(X) does. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The problematic case is where Z defeats Y (and Y defeats X). If Y defeats X, then X contributes nothing to the total of first place votes of the candidates defeating Y, so has no direct effect on S(Y) . But indirectly decreasing  Z's first place votes by one, decreases S(Y) by one unit. This decrease maintains the difference between S(X) and S(Y).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So the difference S(X)-S(Y) either does not change with the raising of X, or decreases.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This fact shows that raising X does not change the winner from X to Y.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The method satisfies mono-raise!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">(But check me on this!)</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El jue., 20 de ene. de 2022 4:22 a. m., Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" target="_blank" rel="noreferrer">km_elmet@t-online.de</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">On 20.01.2022 12:26, Daniel Carrera wrote:<br>
<br>
> Ha! So I want to look for methods similar to Smith,X. Hmm... let me try:<br>
> <br>
> 1) Every candidate has a 1-1 pairwise match against every other candidate.<br>
> <br>
> 2) The candidates with the most won matches are "finalists".<br>
> <br>
> 3) The finalist with the greatest margin of victory against any other<br>
> candidate is elected.<br>
> <br>
> So step (2) basically gives the Copeland set. The whole method should be<br>
> "Copeland,X" where "X" is the method "elect the candidate with the<br>
> largest victory". Since X must be a monotonic method, would it follow<br>
> that Copeland,X is monotonic too? Conversely, if step (3) had said "...<br>
> against any other *finalist*" that would have created "Copeland//X" and<br>
> it would probably be non-monotonic. Does that sound right?<br>
> <br>
> This is interesting because something like Smith,X or Copeland,X as in<br>
> my example allows you to consider methods X that you would normally have<br>
> considered too simple to be interesting. This might be a good way to<br>
> design good methods (e.g. Smith-efficient and monotone) without them<br>
> being very complicated.<br>
<br>
Yes. I forgot to mention two things, though:<br>
<br>
- Borda is particularly nice in that Copeland//Borda is monotone. This<br>
happens because you can infer the Borda score from the pairwise matrix,<br>
and the remaining pairwise matrix entries don't change when you remove<br>
candidates. So although as a rule X//Y is nonmonotone, some monotone<br>
pairwise-based set restrictions of Borda (in particular Smith and<br>
Copeland) will be monotone. However, Borda is unusually susceptible to<br>
strategy, which is a problem, and neither Borda nor Copeland are cloneproof.<br>
<br>
- X//Y methods give up monotonicity, but they get something in return:<br>
if the X set itself is independent of candidates not in it (i.e. you<br>
can't make the X set smaller or larger by introducing candidates not in<br>
it), then X//Y is independent of X-dominated candidates. E.g. in<br>
Smith//Plurality it doesn't matter if there's vote-splitting among the<br>
losers as long as there's no vote-splitting in the Smith set itself. But<br>
in Smith,Plurality, losers outside the Smith set may draw votes away<br>
from the Smith set, making someone else inside it win.<br>
<br>
(Note that Copeland fails the "independence of candidates not in it"<br>
criterion. So Copeland//Borda doesn't get you independence of<br>
Copeland-dominated candidates -- but it does get you independence of<br>
Smith-dominated candidates.)<br>
<br>
-km<br>
----<br>
Election-Methods mailing list - see <a href="https://electorama.com/em" rel="noreferrer noreferrer noreferrer" target="_blank">https://electorama.com/em</a> for list info<br>
</blockquote></div>