<div dir="auto">I've always admired the basic idea of Kemeny-Young, namely a cost metric for conversion of one ranking into another ... simply the number of transpositions (elementary swaps) required.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The deal-breaker draw-back of the Kemeny cost metric is that it is clone dependent ... if it were independent of clones the " cost" of transposing AB to BA would be the same as the net cost of transposing the rank order of respective clones of A and B:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">the order a1a2a3b1b2b3</div><div dir="auto"> to the order b3b2b1a3a2a1</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Long ago the basic de-cloning idea came to me, but only recently has it begun to take shape in a truly satisfactory form.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The basic idea was to make use of a clone independent probability distribution on the candidates (i.e.  "candidate lottery") to weight the transpositions.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In this context clone independence means that when A is replaced by the clone set {a1, a2, a3} the probability of A is distributed among the clones of A:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">P(A)= P(a1)+P(a2)+P(a3) .</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So if the cost of transposing AB to BA is P(A)P(B), the algebraic expansion of</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">(a1+a2+a3)*(b1+b2+b3) </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">to a sum of products of the form </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Sum(a(j)*b(k))</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">distributes the cost among the clones as desired.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The next question is which distribution among the many possibilities would be most appropriate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The first one that comes to mind is the benchmark lottery ... "random favorite", which is indeed clone free, but among other drawbacks it puts too much stock in first place preferences.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A more subtle problem is that, when you think about it long enough, you start to realize that the natural cost of switching AB to BA is not necessarily the same as switching back.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Think of the context ... we have thousands if not millions of proposals (nominations) of possible finish orders to evaluate.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To do so we use our metric to see the total cost of converting all of the ballot orders to each of the nominated orders, in turn. The nominated order incurring the least total order conversion cost over all ballots is the winning order.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now suppose you and like minded voters highly approve of A, but despise B with a passion, and that the proposed winning order puts B ahead of A. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How appropriately would P(B)P(A) reflect your anguish at the prospect of A being demoted from your ballot preference order to the proposed finish order putting B ahead of A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If P(B) were zero, the product would be zero ... would that reflect your disappointment ... a cost of zero?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">No way!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So what we need are two distinct distributions ... one for the ascending member and one for the descending member of the pair.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The ascending cost should reflect disapproval ... mental anguish at contemplation the rise of a bad guy, while the descending cost should reflect candidate approval ... the pain of seeing your favorite being moved downward is proportional to how beloved the candidate is.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So let f and g, respectively, be random Top and random Bottom probabilities. Then the cost of going from a ballot preference of A>B to a social preference of B>A should be the product f(A)*g(B).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This is not yet the last word on the most appropriate distrbutions, but with this much of a hint, any EM List reader that has survived this far should be able to flesh out the rest of the story!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Enjoy,</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-Forest</div><div dir="auto"><br></div></div>