<div dir="auto">I need to simplify this definition so that incessant (& annoying) references to forms of the word "survivor" are not needed... let's see if a recursive definition might help:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The input to this method M consists of an agenda A of alternatives in approval order along with a table T of their pairwise win/loss/tie relationships. The output M(A,T) of the method will be some alternative Y from the agenda A.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">1. Identify the alternative X closest to the good (high approval) end of the agenda that covers every worse (lower approval) alternative on the agenda.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">2. Eradicate from both the agenda A and from the win/loss/tie table T  ... every alternative (including X) that does not beat X pairwise.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">3. IF this elimination step exhausts the agenda A, then set the output Y equal to X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">4. ELSE  apply this method M recursively to elect Y= M(A, T).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now (por favor) disregard the previous definition with all of its typos, thinkos, y otros defectos!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Promised examples tomorrow!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-FWS</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">El jue., 11 de nov. de 2021 8:50 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">A few years ago we applied to the "total approval order" a "chain climbing" idea of Jobst Heitzig for monotonically extracting a member of the Banks set from an ordered list of alternatives ... monotonic in the sense that if you move the winner W higher up the list while preserving the relative order of the other alternatives, or if uniquely W acquires a new pairwise victory, then the alternative W still wins the chain climbing competition.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In general, an alternative is a Banks alternative if it is the head of a maximal totally ordered chain of alternatives ... where the order relation in question is that of pairwise defeat... total order means that (1) each member of the chain pairwise defeats every member of the chain that comes after it and (2) is defeated by every member that precedes it. "Maximal" means (3) there is no room to expand the chain while maintaining the total order conditions (1) and (2).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In practice it is not necessary to find an entire maximal chain; it suffices to reach the point where no alternative can be added to the front end of the chain ... since it is only the winner, i.e. the head of the chain, that we are interested in ... at least in our single winner context.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In the original version of TACC we initialize our chain with the least total approval alternative .... then while there remains any un-tested alternative, we test the lowest total approval previously untested alternative X against the current members of the chain one-by-one as it (X) "climbs" up the chain. If it makes it to the head of the chain without being bumped off (pairwise defeated and discarded) along the way, it (X) gets incorporated into the chain as the current head or champion. The last alternative incorporated into the chain (as champion/winner) directly beats every other member of the chain ... and each non-chain member was bumped by a chain member, so the champion beats each alternative in a "short beatpath" of two or fewer steps.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now here is the new & improved version in succinct form:</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">While ...</div><div dir="auto">any undiscarded alternative remains (i.e. "survives") ...</div><div dir="auto">discard all (previous) survivors that do not pairwise beat the survivor X that has the highest total approval among those survivors that are not beaten pairwise by any survivor with lower total approval.</div><div dir="auto">EndWhile</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Elect the final survivor.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This method definition is not easy to digest in one or two cursory readings, but it is all there. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Working through a few concrete examples will easily clear up any confusion (and expose any potential bugs) ... which we will attempt tomorrow!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-FWS</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">-FWS</div></div>
</blockquote></div>