<div dir="ltr"><div>(Not subscribed at the moment, please copy me directly)</div><div><br></div><div>Came up with a runoff method that, when electing one, is independent of covered alternatives.  Literally has a straightforward elimination process, it's pretty much Bucklin count in reverse, always elects from the uncovered set, is totally unaffected by candidates that aren't in the uncovered set, DEFINITELY not monotonic.  This raises three questions:</div><div><br></div><div>1.  What does this mean when using this method for multiple winners?</div><div><br></div><div>2.  If there's actually some kind of explanation of the pairwise relationships here as there is with the Smith set and the uncovered set, can we make a method that satisfies PSC and provides proportionality for non-solid coalitions (RNB does) with only the pairwise votes, or some other reduced amount of information?  (There are several ways to reduce the information to something summable into a graph like with the pairwise votes, e.g. noting that at each rank R for each candidate C, other candidates X appear directly above them on some number N[C,R,X] of ballots, but none seem to strike me as making any sort of sense)</div><div><br></div><div>3.  …is there a way to tweak Ranked Pairs to not look for the uncovered set, but to be ICA anyway, in the same way that it makes no attempt to explicitly seek out the Smith set but is ISDA?  (Solving #2 would solve this, possibly with a process more complicated than Ranked Pairs, and if the resulting process is complex and non-monotonic I would still consider Ranked Pairs better due to the ease with which the average joe on the street understands the Ranked Pairs rule.)</div><div><br></div><div><br></div>In researching STV, I came across Chris Geller's 2005 work on STV-B (which turned out to be extremely broken, because Borda compacts top-ranked choices as you have more candidates), modified it to Nauru-STV (which avoids that problem, but still cuts back your voting power when you rank a weak candidate first), and then in trying to fix THAT ended up creating the Reverse-Bucklin method.<div><br></div><div>When electing a single winner, Reverse-Negative-Bucklin in particular—eliminating by Bucklin count rather than vote count—always elects from the uncovered set, and is independent of covered alternatives.  The multi-winner process is as follows:</div><div><br></div><div>1.  Canonicalize all ballots.  If any ranks are empty, renumber all further ranks to close that gap.</div><div><br></div><div>2.  Calculate all vote transfers using the current quotas.  (There is a process for equal-ranked candidates; let's ignore that for now.)<br></div><div><br></div><div>3.  If any candidate has a quota of votes, elect the SINGLE CANDIDATE who still has a Bucklin count above quota when truncating at the highest rank, or else of those new winners retaining a quota at rank R such that none has a quota at R-1, elect whichever has the highest Bucklin count at rank R.</div><div><br></div><div>4.  If all seats are filled, end.</div><div><br></div><div>5.  If a candidate was elected, return to 2.</div><div><br></div><div>6.  Set r=n for n non-eliminated candidates.</div><div><br></div><div>7.  Count up all candidates appearing on all ballots truncated to rank r; this is their Bucklin count.  [Note:  carry out vote transfers, except that for non-elected, non-defeated candidates, they transfer their full vote forward as the Bucklin count; or more simply put, for a given candidate on a ballot, multiply the fractional transfers of all winning candidates above them, and if there are no winners above them then the ballot contributes 1 to their Bucklin score]</div><div><br></div><div>8.  If any candidates have a Bucklin count below zero, eliminate the candidate with the lowest Bucklin count, then go to 1.</div><div><br></div><div>9.  Set r=r-1.</div><div><br></div><div>10.  Go to 7.</div><div><br></div><div><br></div><div>Two notes in the multi-winner case:  I have a process for candidates at equal rankings; and as per step 3, I'm still tinkering around with transferring the votes (and transferring Bucklin counts in the opposite way, that being that the full fractional vote transfer passes through any unelected hopeful when accounting for their Bucklin score) during this count in a way that's not insane (it's the same problem as transfering votes under Meek's method, being that it's iterative and so never quite right—Meek's method even has provisions to deal with an oscillation where the count never ends).</div><div><br></div><div>The single-winner case doesn't have those issues because there are no vote transfers, in the same way that every STV method that eliminates by vote-count is equivalent in the single-winner case.</div><div><br></div><div><br></div><div>So let's talk about the single-winner case.</div><div><br></div><div><br></div><div>There is a reason I specify ONE election and ONE elimination, no batches.  I had thought this was independent of Smith-dominated alternatives because for Candidate X to have a majority over Candidate Y, Candidate X must appear above Candidate Y on a majority of ballots (duh).  The approach here is that when truncating at rank R, all candidates appear on a majority of ballots; but when truncating at rank R-1, SOME candidates are no longer on a majority of ballots.  This had a problem:  SOME of those candidates were in the Smith set; but the candidate who appears on the FEWEST ballots when truncated to rank R-1 is NEVER IN THE SMITH SET because some candidate ultimately must appear below ALL Smith candidates on a majority of ballots below some rank.  Therefore, all non-Smith candidates are eliminated before any Smith candidate.</div><div><br></div><div>That was…imprecise.</div><div><br></div><div>It turns out if candidate X beats candidate Y, and X beats every candidate Y beats, the same proof for independence of Smith-dominated alternatives also proves that Y must be eliminated before any alternative X does not cover can be eliminated.</div><div><br></div><div>Basically, because X covers Y, Y cannot replace X in the win set; Y must be eliminated before X; and, because a majority is the quota, Y cannot cause X to replace another winner or vice versa, i.e. the elimination order doesn't matter until only uncovered alternatives remain.  It's totally independent of covered alternatives, if I have this right.</div><div><br></div><div>This does REALLY WEIRD THINGS in the multi-winner case, by the way:</div><div><br></div><div>17 Alex ≻ Bobbie ≻ Chris</div><div>16 Bobbie ≻ Alex ≻ Chris</div><div>11 Dane ≻ Ed ≻ Fran</div><div>12 Ed ≻ Fran ≻ Dane</div><div>13 Fran ≻ Dane ≻ Ed</div><div>16 Giorgi ≻ Hans ≻ Ingrid</div><div>15 Ingrid ≻ Hans ≻ Giorgi</div><div><br></div><div>Above, when electing 3, quota being a number exceeding 25 (Hagenbach-Bischoff), you end up electing Alex, Fran, and Giorgi.</div><div><br></div><div>Fran makes sense:  Ed is the weakest of the three in the first 2 ranks (11+12, vs 11+13 and 12+13) and is eliminated first, and then it becomes a runoff to 25 just like any other STV method because they don't lose quota until rank 1.</div><div><br></div><div>You end up electing Giorgi because when evaluating at rank 2, Giorgi and Ingrid miss quota, and Ingrid appears on fewer ballots up to rank 2, so Ingrid is deleted, and then you run off the same way.</div><div><br></div><div><div>17 Alex ≻ Bobbie ≻ Chris</div><div>16 Bobbie ≻ Alex ≻ Chris</div><div>11 Dane ≻ Ed ≻ Fran</div><div>12 Ed ≻ Fran ≻ Dane</div><div>13 Fran ≻ Dane ≻ Ed</div><div>16 Giorgi ≻ Hans ≻ Ingrid</div><div>15 Ingrid ≻ Hans ≻ Chris ≻ Giorgi</div></div><div><br></div><div>THIS ELECTS HANS.  Giorgi gets eliminated when evaluating at R=3.</div><div><br></div><div><div>17 Alex ≻ Bobbie ≻ Sam ≻ Chris</div><div>16 Bobbie ≻ Alex ≻ Sam ≻ Chris</div><div>11 Dane ≻ Ed ≻ Fran</div><div>12 Ed ≻ Fran ≻ Dane</div><div>13 Fran ≻ Dane ≻ Ed</div><div>16 Giorgi ≻ Hans ≻ Ingrid</div><div>15 Ingrid ≻ Hans ≻ Chris ≻ Giorgi</div></div><div><br></div><div>THIS elects Giorgi:  Chris only appears on 15 at rank 3, Giorgi appears on 16.  Yes, the presence of Sam up top now matters.</div><div><br></div><div>Take note that neither Giorgi nor Hans appear above one another on a quota of ballots; Hans appears above Chris on a quota in both of the latter two cases.  That means Chris can't replace Hans in the win set; but at the same time, it doesn't mean that Giorgi or Ingrid can't replace Hans.  So, if Chris is a winner, one of Hans, Giorgi, or Ingrid must be a winner.</div><div><br></div><div>Likewise, Alex and Bobbie appear above Chris, so Chris can't displace either of them (if Chris wins, one of Alex or Bobbie must win).</div><div><br></div><div>Dane, Ed, and Fran all appear above Chris on a quota of ballots, and vice versa.  They also appear above every OTHER candidate on a quota of ballots, AND below every candidate on a quota of ballots. so the win set must include one of them.</div><div><br></div><div>How all of this comes together to make any sense is still a mystery to me.  The principles which drive the behavior of the single-winner case are active in the multi-winner case, but I don't have a generalization of what those principles are—what in the heck is the analogue of the "uncovered set" when your quota is Votes/(1-n) for n winners?  What in here is analogous to a cycle, and how do they break?</div><div><br></div><div>I hate runoffs.  They're ridiculously difficult to count.  These questions are inherently interesting because they may lead to an equivalent rule that uses pairwise statistics instead of carrying out a runoff process—that is, a vastly-superior rule that requires the ballots to be enumerated only once, rather than repeatedly counted, modified, and recounted (counting Ranked Pairs in a computer program is vastly simpler than counting Instant Runoff Voting in a computer program).</div><div><br></div></div>