<div dir="auto">Symmetric MJ when there are an even number of categories ...<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Temporarily augment with a virtual empty category midway between the two extreme categories, i.e. having the same number of categories to either side of it.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now use the odd category version to find the Majority Judgment.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The only problem with this is the possibility of the MJ category turning out to be the virtual category.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Even this is not a problem unless two candidates end up with the same virtual  MJ ... the standard MJ tie breaker can be thrown into an endless loop by this case.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We need a new tie breaker, and the easiest approach is to build it into a new more sensitive procedure for finding the MJ ... and this new procedure requires the introduction of one new virtual judgment category between each pair of the original categories.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example, if the four originals are A, B, C, and D, the virtual judgment categories might be called ab, bc, and cd ... so now we have seven categories with the implied order A>ab>B>bc>C>cd>D.</div><div dir="auto">The virtual categories start out empty ... they are not ballot categories ... only accessories to facilitate the tally, including the tie breaker information.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Note that midway between any two "real" categories is a member of the extended set of categories, and that this extended set is totally ordered.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For now we concentrate on one candidate X.  We build up a string S(X) of category codes (including code names of virtual categories) for X as follows...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Initialize S(X) as a blank string ... then ..</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">WHILE there remains more than one judgment vote for X, append to the string S(X) the code for the judgment category midway between X's two outer most remaining judgment votes before discarding them.</div><div dir="auto">ENDWHILE</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If there still remains one undiscarded vote, append its code name to the end of X's  string S(X) before discarding it also.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Now repeat until you have for each candidate X, a code string S(X).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Finally, reverse each string S(X) to rS(X), and put these reversed strings into lexicographical (alphabetical) order (assuming the order of the judgment categories is consistent with the alphabetical order of their respective code words) </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The lexicographical order of this set of reversed strings {rS(X)} gives the order of finish of the set of candidates {X}.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">More than two categories, and more  than a dozen voters make ties highly unlikely ... the built in tie mechanism takes care of everything short of two candidates with identical vote distributions or both having all of their votes symmetrically distributed about the same judgment category .... extremely rare.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">However a tie of any two tied symmetrical (but non-identical) distributions where the common center of symmetry is not the middle category may may be resolved by collapsing inward to the middle category.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For example ....</div><div dir="auto">x1, _ , y1, * , y2, vmid , x2, _ , _ , _ , _<br></div><div dir="auto">based on six real categories plus five virtual ones.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The X and Y votes are both distributed symmetrically around *, but not around the virtual middle, vmid (midway between y2 and x2).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If we collapse towards the virtual middle, then y1 and y2 end up in the current y2 position, while x1 and x2 end up in the virtual middle... so even symmetrical ties can be resolved if the common center of symmetry is not the middle category (whether real or virtual makes no difference).</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Central symmetry ties about the (real or virtual middle) cannot be resolved even in principle by a y method that satisfies Reverse Symmetry.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In conclusion, it appears that all ties can be resolved by these considerations except the ones that cannot be resolved in principle because of Reverse Symmetry or identical distributions of voter judgments.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">It would be interesting to see by simulation how frequently these identical or centrally symmetrical distributions are likely to arise by chance or even by extreme intentional coordination among factions.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">FWS</div><div dir="auto"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr">El lun., 25 de oct. de 2021 5:16 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">To better understand MJ's relation to Symmetrical MJ, let's look at two equivalent descriptions of MJ ... <div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If there are an odd number of judgments (votes) for candidate X, then the Majority Judgment of X is the median judgment. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If there are an even number of judgments, add one additional vote to the bottom judgment category ... the median of this augmented set of judgments is X's MJ.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For Symmetric MJ add the extra vote to the middle category.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The other equivalent procedure for MJ is to start at the top category and collapse downward until a majority of votes is reached.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The symmetrical version collapses from the outside towards the middle category.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">FWS</div></div>
</blockquote></div>