<div dir="auto"><div>Note that if epsilon is one, the method is just Range Voting on a scale of zero to five ... which gives a clear incentive for concentrating ratings to the extremes of zero and five, or the extremes of "reject" and "excellent" in the MJ terminology.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">On the other hand, if epsilon were infinitesimal, the grades above "poor" would serve merely as tie breakers ... not a bad idea for a general purpose tie breaker method!</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But as a stand alone method, it might be best to limit the choice of epsilon to a value between zero and 1/6.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Why 1/6? Because of the six levels of grades, a five-sixths majority is a reasonable partial consensus quota. In particular, an initial step that disqualified every alternative pairwise defeated by more than a five-sixths majority of the ballots could never disqualify all candidates when there are only six levels. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[In general, if there are only k levels, there cannot be a beat cycle where all of the winning votes consist of fractions greater than (1 - 1/k) of the ballots.]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This and other considerations make me think that in general when there are k levels of approval, 1/k might be  a good nominal value for epsilon.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">This "method" is still in the  brainstorming stage, so all suggestions are worth considering!</div><div dir="auto"><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr">El mié., 6 de oct. de 2021 7:38 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" target="_blank" rel="noreferrer">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto">Steve's query about Chiastic Approval included the following ....<div dir="auto"><br></div><div dir="auto"> <span style="font-family:sans-serif;font-size:14.6667px">Also, correct me if I'm mistaken that XA does not guarantee that its winner will be elected with the support of a majority of all the votes (ballots) cast.</span></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">The short answer is "no" ...  no method can guarantee majority voter support for its winner, unless they can guarantee that at least one candidate is ranked, rated, scored, or graded above bottom on more than half of the ballots submitted.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">The long answer is, "Why stop at half or two-thirds, as some methods require ... why not go for full 100% consensus?"</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">But, you may object, full consensus is not always possible. Well, neither is forty percent support always possible, but that doesn't stop the Constitution from requiring two-thirds of the voters' support for certain kinds of amendments, etc.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">One expedient that has been suggested is the NOTA option for the case when the quota is not met.  This option gives new meaning to the word "approval" ... as Mike Ossipoff used to say, you approve a candidate if you would rather see her elected than have to come back next month to vote for someone else.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">I would like to suggest another option based on the standard MJ grade ballot ...</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">Each candidate X gets a score that is given by the sum ..</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">S(X) = Sum (over j from zero to five) of the product</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">a(j)*epsilon^j,</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">where epsilon is a value to be determined by the voters ... and the respective values of a(j), for j in {0, 1, 2, 3, 4} are the number of ballots on which candidate X is graded strictly above reject, poor, acceptable, good, or very good, respectively.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">Also each voter has the option of voting for a value of epsilon in the set {.01, .02, ... .99, 1.00}. The median of the distribution of these votes determines the value of epsilon. </span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">Elect the candidate X with the max value of S(X) (once the epsilon value has been determined).</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">Note that if, for some j, the coefficient a(j) is the total number of ballots, then we can say candidate X is a full consensus candidate at level j.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">If there are several full consensus level j candidates, then the higher degree terms will determine the winner.</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">Thanks!</span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px"><br></span></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><span style="font-size:14.6667px">FWS</span></font></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr"><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div><div><font size="2"><span style="font-size:11pt"><div>
<br>
</div>
<div><br></div></span></font></div></div></div>
</blockquote></div></div></div>
</blockquote></div></div></div>