<div dir="auto"><div>With ratings we judged "Good As L" by the ballot expectation under the lottery L.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">With rankings we might be tempted to base GAL on expected rank numbers... but that would be a huge mistake ... a repeat of the classic mistake of Borda ... treating rankings as interchangeable with ratings ... thereby losing clone independence.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The way that has the best chance of yielding positive results is to mark alternative X as GAL ("Good as L") iff it is more likely that L will pick an alternative ranked below (behind) X than one ranked above (before) X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">For each alternative X, let  GAL(X) be the percentage of ballots on which X is marked GAL. Then for each ballot beta, let c(beta) be the "chosen" alternative X, among those marked GAL on beta, with the greatest value of GAL(X)*beta(X), where beta(X) is one or 1/2, respectively depending on whether or not X is ranked (Equal)Top.</span><br></div><div dir="auto"><br></div><span style="font-family:sans-serif">Finally, let L'(X) be the percentage of ballots beta such that c(beta) = X.</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">How about the "weakly better" relation on lotteries in this ranking context?</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif">In the ratings context we made use of dot products to define this relation, an expedient that is unavailable in the context of mere rankings...</span></div><div dir="auto"><span style="font-family:sans-serif"><br></span></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">Let's say that L' is weakly better than L as far as ballot beta is concerned if the set of alternatives marked as GAL' on ballot beta contains the set marked as GAL.</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">If this is true for all beta, and strict containment holds for at least one beta, then L' is weakly better than L.</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">In our next message we talk more about entropy....  (TO BE CONT'D)</font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif"><br></font></div><div dir="auto"><font face="sans-serif">Forest<br></font><br><div class="gmail_quote" dir="auto"><div dir="ltr">El lun., 4 de oct. de 2021 8:09 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto"><div dir="auto">This is the promised continuation that suggests how one can put to good use the cardinal ratings we defined in our previous message.</div><div dir="auto"><br></div>The following steps constitute a way of transforming a non-proportional lottery L into a proportional one L', given sincere cardinal ratings as described in our previous message. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If we are not mistaken, optimal rational strategy for certain methods (as suggested at the end of this message) that incorporate this transformation will elicit from rational voters sincere ratings of that kind.<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Let L be the input lottery. On each ballot mark GAL for "Good As L" next to each alternative whose ballot rating is not less than that ballot's lottery expectation.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">[If the ballot ratings and lottery probabilities are given in vector form, then the ballot's lottery expectation is the dot product of the two vectors.]</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">For each alternative X, let  GAL(X) be the percentage of ballots on which X is marked GAL. Then for each ballot beta, let c(beta) be the "chosen" alternative X, among those marked GAL on beta, with the greatest value of GAL(X)*beta(X), where beta(X) is ballot beta's rating of X.</div></div></div></blockquote></div></div><div dir="auto"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto"><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">So each ballot beta invests its share of the probability in a candidate who has support from other ballots (as attested by the factor GAL(X)) and is also rated relatively high by beta's voter (as attested by the factor beta(X)). Thus the cooperative viability and the individual voter's estimate of desirability have equal weight in this product.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Finally, let L'(X) be the percentage of ballots beta such that c(beta) = X.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Thus we see how the output lottery L' is determined by the input lottery L.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If a subset S of the ballots rate only candidate X above zero, then each of those ballots will choose X, i.e. for each beta in S, the choice c(beta) will be X, which entails that L'(X) is at least #S/N, where N is the total number of ballots and #S is the cardinality of the subset S.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Therefore L' is a fair (proportional) lottery even if L is not.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Suppose that for every ballot beta, the dot product beta•L is no greater than the dot product beta•L', and that for at least one ballot beta (L' - L)•beta>0. Then we can say that L' is at least weakly better than L.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">One method based on this lottery improvement transformation is to initialize L as the random favorite "benchmark" lottery. Then iterate the transformation L ---> L' until L' is no longer weakly better than L. At that point the last improved L is the winning lottery ... i.e. the one used to pick a single winner, or the one used to apportion seats among parties in a multi winner party list context ... as the case may be.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Another way to use this L ---> L' transformation is to solicit nominations for L from all voters, candidates, and other interested (non-bot) parties. Then choose by random ballot from among the corresponding L' lotteries that are tied for minimum entropy.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In our next message let's see how well we can mimic these results using only ordinal ballots ... to be continued...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">FWS</div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr">El jue., 30 de sep. de 2021 9:51 p. m., Forest Simmons <<a href="mailto:forest.simmons21@gmail.com" rel="noreferrer noreferrer noreferrer" target="_blank">forest.simmons21@gmail.com</a>> escribió:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="auto"><div dir="auto"></div>Here are some of my thoughts about determining sincere ratiings with the help of sincere rankings ... ratings adequate for use in lottery methods:<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">We set up a system of equations (to be solved iteratively) whose solutions are the desired ratings.</div><div dir="auto"><div dir="auto"><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">First assign Top and Bottom ranked (or truncated) candidates the respective boundary values of 100 and zero percent.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Each remaining candidate Y is interior to the ranks, i.e. ranked between two neighbors X and Z. We use the lower case variables x, y, and z to represent the ratings (whether given or to be determined) of the respective candidates X, Y, and Z.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto"> For each interior Y adjust parameters p and q (while keeping p + q = 100%) interactively until the user is indifferent between the lotteries p*X + q*Z and 100%Y, where X and Z are adjacent to Y in the ranking. </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Then set y = p*x + q*z .</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Having done this for each interior Y, we now have a system of equations</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">{y = p*x+q*a | Y is ranked consecutively between X and Z} </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">which together with the previously mentioned boundary conditions are sufficient to uniquely determine the desired ratings.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">In fact, an approximate solution set for this system can be obtained by initializing all of the interior variables randomly and then iterating the set of equations (always respecting boundary conditions) until the variables converge (e.g.) to the accuracy of the math coprocessor, ... as long as you realize the accuracy of the actual ratings cannot exceed the accuracy of the p and q estimates provided by the user ... GIGO.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">The main purpose of the above verbiage is to show that there is a conceptually rigorous way to define meaningful ratings adequate for use in lottery methods without mention of "utilities."</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">That said, forty plus years of assigning partial credit to student work has taught me some useful shortcuts.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">A problem that can be solved in n sinificant steps gets fraction k/n partial credit if the student successfully completes k steps before getting derailed.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Similarly, a candidate gets rating k/n if she meets k out of your n equally important criteria. If not equally important, then includes weights.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Sometimes the easiest way to assign partial credit is to ask yourself the question, "What is the probability that this student would successfully solve a typical problem of this kind on another similar test?"</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Similarly, you can ask what is the probability that this candidate would faithfully represent your position on issues of importance to you (weighted by importance)? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">List the candidates in order of these weighted probabilities, then subtract the smallest from all of them .... finally divide the resulting values by the largest of these.  Note, however, that these normalization steps form an affine transformation so they are not necessary if your lottery method is invariant under affine transformations of the ballot ratings ... an indispensable requirement for a decent lottery method.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I promise to show how to use these ratings ballots to make a lottery based, but completely deterministic, party list proportional representation method.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">How can that be? </div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Here's the trick: the alternatives of the lottery method are the party lists themselves. Voters rate the lists rather than the separate candidates within the lists. Then the number of candidates contributed by a list is N times p, where p is the lottery probability of that list and where N is the number of seats to be filled by the election.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">If the lottery method is "random favorite party," then you get a basic party list method depending on how you round the N*p values to whole numbers.  Note that this method is absolutely deterministic despite its use of lottery language to describe the distribution of winning candidates among the various party lists.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">But other proportional lottery methods (besides the benchmark random-favorite lottery) with significantly lower entropy can lead to less fragmentation and more potential for cooperation, without sacrificing proportional representation of minority groups.</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">To be continued ...</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">FWS</div></div></div></div>
</blockquote></div></div>
</blockquote></div></div></div>