<div dir="ltr"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:trebuchet ms,sans-serif;font-size:small"><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Jul 2, 2021 at 6:58 AM Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><br>
I'll try to find a better method -- my optimization simulations suggest <br>
that monotonicity doesn't affect manipulability much, and so there <br>
should be a DMTBR Smith monotone method out there somewhere. It's just <br>
very hard to get the pieces to fit.<br>
<br>
But in the meantime, if you want to advocate for Pb, go ahead :-)<br>
</blockquote></div><br clear="all"><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Sure :-)</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">I just ran an experiment inspired by Darlington (2018). In that paper he argues that Minimax is the best method because, entirely aside from Minimax's theoretical limitations, it tends to produce winners closer to the electorate than other methods. He models voters and candidates as belonging to a multivariate Gaussian distribution embedded in an N-dimensional "issue space". Then he finds that Minimax winners tend to have a lower mean distance to voters than the winners of other methods.</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">So inspired by that I made a simple simulation: 100 voters and 5 candidates, all drawn randomly from a multivariate Gaussian embedded inside a 3-dimensional "issue space". Voters rank candidates according to their distance in issue-space. I ran enough trials to get 10,000 scenarios with Condorcet cycles. Here's what I found:<br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">-  4,668 trials where Pb and Minimax found the same winner</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">-  1,906 trials where Minimax found a better candidate than Pb</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">-  3,426 trials where Pb found a better candidate than Minimax</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Again, a candidate is "better" if his mean distance to the voters is lower.</div><br></div><div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">I'm sure that if I change the parameters the values will change. But so far it really looks like, whatever the theoretical limitations of Pb are (e.g. clones) in simulated elections it works at least as well as the best Condorcet methods. Honestly I hadn't expected it to work this well. The way that Minimax and Ranked Pairs break cycles makes the most sense to me, but apparently dumb Plurality is a pretty good way to break cycles too.</div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Cheers,</div></div><div class="gmail_default" style="font-family:"trebuchet ms",sans-serif;font-size:small">Daniel</div></div>