<div dir="ltr"><div>Now that we have "de-cloned Borda" by changing the rankings to what we could call "pseudo ratings," we need just one one more ingredient for our PR framework:</div><div><br></div><div>We need a standard way of defining a second place candidate or "runner-up" for single winner elections.</div><div><br></div><div>1. One way is to re-run the election with the winner removed from the ballots to see who the new winner is.</div><div><br></div><div>2. Another is to see which loser gave the winner the greatest pairwise opposition.</div><div><br></div><div>3. Another is to see which candidate needs the fewest "plump" votes to become the winner.</div><div><br></div><div>4. Any other ideas?<br></div><br><div class="gmail_quote"><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
<br>
Kristofer,<br>
<br>
Thanks for your constructive comments.  That first version left a lot of<br>
room for improvement, so here goes a second attempt:<br>
<br>
As you mentioned methods like PAV based on approval ballots and versions of<br>
Proportional Range Voting based on cardinal ratings style ballots are not<br>
naturally adapted to ordinal ranking style ballots.<br>
<br>
In my first attempt at a general framework I basically said if you want to<br>
convert rankings to approval style ballots, just use implicit approval.<br>
Obviously that leaves much to be desired. So the next approximation would<br>
be to give "equal top" rank full approval, while only half approval is<br>
given to rankings strictly between top and bottom, which is what I used in<br>
my first attempt (although omitted from the partial quote below ?).<br>
<br>
So I want to use this message to take care of this problem, i.e. how to<br>
approximate ratings from rankings:<br>
<br>
First let's review why Borda is inadequate.  Borda assumes that ranked<br>
candidates are equally spaced in utility. But this assumption is<br>
incompatible with clone independence:<br>
<br>
40 A>B>C>D>E<br>
60 E>A>B>C>D<br>
<br>
Assuming equal spacing (as in non-parametric statistics) we have<br>
<br>
40 A(4)>B(3)>C(2)>D(1)<br>
60 E(4)>A(3)>B(2)>C(1)<br>
<br>
So A is the winner with a score of 4*40 + 3*60, beating out the Condorcet<br>
winner E whose total score is only 4*60, tied with the Pareto dominated<br>
candidate B!<br>
<br>
The Pareto dominated candidates B, C, and D artificially prop up candidates<br>
A and B to the point of taking the wind out of the ballot CW.<br>
<br>
How do we fix this?<br>
<br>
First we tally first place preferences or "favorite" scores for all of the<br>
candidates.  In the above example  A gets forty, E gets 60, and the other<br>
candidates get zero each.<br>
<br>
Then we use these tallys to construct the random favorite probability<br>
distribution: P(A)=40%, P(B)=0=P(C)=P(D), and P(E)=60%.<br>
<br>
On any given ballot our estimated rating for candidate X will be R=L<br>
/(H+L), where L is the  probability that  (on this ballot) a random<br>
favorite will be ranked Lower (or unranked)) than X, and H is the<br>
probability that a random favorite will be ranked strictly Higher than X on<br>
this ballot.<br>
<br>
Notice that the highest ranked candidate will have H = 0. so that its<br>
rating will be L/(0 + L) which is 1, or 100 percent.  Similarly any bottom<br>
candidate on a ballot will have a value of L equal to zero, so its<br>
estimated rating will be 0/(H + 0), which is zero.<br>
<br>
If some candidate X on a ballot has the same  values for L and H, which<br>
means that a random favotite is just as likely to be ranked below X as<br>
above X, then the estimated rating is given by L/(H+L) = L/(L+L), which<br>
equals 1/2 or fifty percent.<br>
<br>
So on any ballot from the first faction the estimated ratings of the<br>
reaspective candidates are given by R(A) = 60/(0 +60), which equals 1 or<br>
100 percent. While R(E) = 0/(60+0), which equals zero. And R(B) =R(C)=R(D)<br>
which are all equal to 60/(40+60) or 60 percent.<br>
<br>
Similarly on any ballot from the second faction in our example the<br>
estimated ratings are given by R(E) =40/(0+40) or 100 percent, and R(A) =<br>
0/(60+0) = 0, and R(X) for the remaining candidates is given by 0/(100+0) =<br>
0.<br>
<br>
So the score totals (over all ballots) are T(A) = 40*100% + 60*0, T(E) =<br>
40*0 + 60* 100%, and T(X) = 40*60% +60*0,  (for each of the clones of A).<br>
<br>
In sum, E wins with a total of 60, followed by A with a total score of 40,<br>
and finally the (near) clone candidates that are Pareto dominated by A,<br>
with 24 points.each.<br>
<br>
(I say "near" clones because in this context where equal first and equal<br>
bottom are allowed, if a candidate falls into one of those extremes on a<br>
ballot and a clone doesn't, then that clone is only a near clone IMHO.)<br>
<br>
In my next messaage I'll fix the other problems with my first attempt at a<br>
generalized frameworrk for adapting single winner methods to multiwinner<br>
elections satisfying Proportional Representation.<br>
<br>
<br>
<br>
Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" target="_blank">km_elmet@t-online.de</a>> wrote:<br>
<br>
> On 1/22/20 12:05 AM, Forest Simmons wrote:<br>
> ><br>
> > The Multiwinner Method I have in mind chooses the winners sequentially.<br>
> > It is based on the idea that ballots have an initial weight of one, and<br>
> > that as candidates supported by a ballot are added to the winners'<br>
> > circle, the weight is reduced according to some rule designed to<br>
> > diminish the influence of the voters who have already achieved some<br>
> > level of satisfaction.<br>
> ><br>
> > At each stage in the election the new seat is filled by the candidate<br>
> > picked by the single winner method applied to the entire ballot set with<br>
> > the current ballot weights in force.<br>
> ><br>
> > How, in general, do we diminish the weight of a ballot? Perhaps the<br>
> > simplest way is to make the current weight 1/(1+S) where S is the<br>
> > current satisfaction obtained by comparing the ballot preferences<br>
> > (whether ratings or rankings) with the winners elected so far. As long<br>
> > as the current satisfaction is zero, the weight remains at one since<br>
> > 1/(1+0) is just one.<br>
><br>
> A quick reply (been a bit busy lately): Approval methods need to pass a<br>
> weaker proportionality criterion than ranked methods. For Approval, you<br>
> just need to give X a seat if enough voters approve X, but Droop<br>
> proportionality is nested: a vote can contribute to multiple solid<br>
> coalitions at once.<br>
><br>
> Thus I'm not sure basing a ranked proportional method on Approval will<br>
> lead to a good outcome, at least not if that's not explicitly taken into<br>
> account.<br>
><br>
> E.g. consider the "D'Hondt without lists" proposal from 2002. It<br>
> combined reweighting with pairwise matrices, but I'm pretty sure it<br>
> fails the DPC.<br><br>
</blockquote></div></div>