<div dir="ltr"><div>Sorry to take so long to reply.</div><div><br></div><div>First I want to give another formulation of Imprroved copeland:</div><div><br></div><div>It takes two passes (barring some miracle approach).  The first pass is to construct the pairwise win matrix in which the element in row i and column j is a one if i beats j pairwise, negative one if j beats i, and zero otherwise.</div><div><br></div><div>Based on this matrix construct a directed graph ffor each ballot, with an arrow from each candidate to every candidate he pairwise beats.  If any arrow points from a lower ranked candidate to an higher ranked one, then delete it along with all of the other arrows pointing to the higher candidate and all of the arrows emanating from the lower one. The score of each candidate is the total (over all ballots) of the indegrees minus the outdegrees of the remaining arrows impinging on that candidate.</div><div><br></div><div>In matrix terms, for each ballot the matrix is constructed (with reference to the pairwise win matrix) as follows.  Initially If candidate i is ranked ahead of j on <br></div><div>the ballot then put a one in the (i, j) position in the matrix, zero  otherwise. Subtract the transpose of this matrix from itself to get a new matrix.  Then mark all of the elements that are not identical in the two matrices, and then zero out the rows and columns of the marked elements.  The resultingg matrix is the contribution of the ballot to the total matrix.  <br></div><div><br></div><div>The row with the largest sum (or the column with the smallest sum) represents the winner.</div><div><br></div><div>Now if we just zeroed outt the offending elements without zeroing out their entire rows and columns the sum would be something we could do sneakily:</div><div><br></div><div>Average the Margins matrix with n copies of the win/loss matrix where n is the total number of ballots.  That is the matrix you would get iff you only removed the arrows pointing in the wrong direction without removing the other associated witth the affected indegrees and outdegrees.</div><div><br></div><div>o that related, but inferior< method is precinct summable.</div><div><br></div><div>Inferior because it definitely still has all of the clone problems off Borda and copeland, while ffailing Landau.  The zeroing out off the rrows and columns is crucial to preserving Landau, and (I hope it tkes care of the clone dependence, too, since it makes the remaining  vertices more like the first place vertices that we were trying to limit our count to in ourr first attempt).</div><div><br></div><div>Thinking in terms of the (modified) directed graphs correspondinig to the matrices with the rows and columns zeroed out, it is easy to see how monotonicitty is preserrved, and almost as easy to see how Landau is preserved.</div><div><br></div><div>That's all I have time for now.</div><div><br></div><div>Best,</div><div>Forest<br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Thu, Jun 6, 2019 at 2:11 PM Forest Simmons <<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu">fsimmons@pcc.edu</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div>Here's another slightly simpler approach aimed at the lay voter:</div><div><br></div><div>Tell the audience that the Condorcet ideal is a candidate that is not pairwise beaten by any other candidate.</div><div><br></div><div>When that is not possible, it is natural to consider a candidate that is beaten pairwise by the fewest other candidates.  This idea is the basis of the Copeland Method.</div><div><br></div><div>There are two problems with the Copeland method: (1) It has a strong tendency to produce ties,  and (2) More subtle problems created by cloning certain candidates to increase the number of defeats suffered by certain other candidates without increasing the number of defeats of the cloned candidates.</div><div><br></div><div>Because of these two problems, Copeland is not considered a serious contender for use in public elections.</div><div><br></div><div>But what if there were a simple modification of Copeland that would totally resolve these two problems in one fell swoop?</div><div><br></div><div>There is; instead of counting the number of candidates that defeat candidate X, (and electing the candidate with the smallest count), we add up all of the first place votes of all of the candidates that defeat X, and elect the candidate with the smallest sum.</div><div><br></div><div>This solves the first problem because in any moderate to large sized election, it would be rare for two candidates to have the same minimum sum.</div><div><br></div><div>It also solves the second problem because if a candidate is cloned, the first place votes of the cloned candidate are divided up among the clones.</div><div><br></div><div>[End of Introduction to Improved Copeland for the lay voter.]</div><div><br></div><div>Now, as mentioned in my last post, it is more general to replace the phrase "first place votes" with "random candidate probabilities," i.e. benchmark lottery probabilities.   Even other suitable lottery probabilities could be used.</div><div><br></div><div>This method (at least under the top rank counts or  benchmark lottery) always elects from Landau, since if X covers Y, then only a subset of the candidates that beat Y will beat X, yielding X a smaller probability sum than Y.</div><div><br></div><div>Also since if candidate X is raised on a ballot it can only decrease the benchmark probability of any other candidate, and the set of candidates that now beat X will be a (possibly proper) subset of the candidates that did before raising X on the ballot; i.e. this method is monotonous (if not monogamous).</div><div><br></div><div>And it seems tp satisfy the Chicken Defense criterion:</div><div><br></div><div>49 C</div><div>26 A>B</div><div>25 B  (sincere is B>A)<br></div><div><br></div><div>C>A is the only pairwise defeat of A, so the A sum is 49.</div><div>A>B is the only pairwise defeat of B, so the B sum is 26.</div><div>B>C is the only pairwise defeat of C, so the C sum is 25.</div><div><br></div><div>Candidate C (with the smallest sum) is elected, thus thwarting the threatened chicken attack</div><div><br></div><div>What's not to like?</div><div><br></div><div>Now think in terms of "Yee BoLson Diagrams":<br></div><div><br></div><div>A candidate's score is the sum of the Dirichlet Cell probabilities (i.e. Voronoi Polygon probabilities).  These are the Dirichlet/Voronoicells of the candidates that are closer to the center of the distribution than the given candidate. [the respective cells represent the voters that top rank the respective candidates.]</div><div><br></div><div>So the winning candidate is the candidate for which the mass of cells closer to the center than the candidate has the smallest total probability.</div><div><br></div><div>In the case of the standard centrally symmetric distribution used in Yee Bolson diagrams, the candidate closest to the center will be the winner with no defeats, so the "mass of defeating cells" will be empty.</div><div><br></div><div>Not bad!<br></div><div><br></div><div>Is it good enough and simple enough to propose?<br></div><div>.<br></div><div>Forest<br></div><div><br></div><br><div class="gmail_quote"><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
<br>
----------------------------------------------------------------------<br>
<br>
Message: 1<br>
Date: Wed, 5 Jun 2019 19:28:48 -0700<br>
From: Forest Simmons <<a href="mailto:fsimmons@pcc.edu" target="_blank">fsimmons@pcc.edu</a>><br>
To: Kristofer Munsterhjelm <<a href="mailto:km_elmet@t-online.de" target="_blank">km_elmet@t-online.de</a>>, EM<br>
        <<a href="mailto:election-methods@lists.electorama.com" target="_blank">election-methods@lists.electorama.com</a>>,  "C.Benham"<br>
        <<a href="mailto:cbenham@adam.com.au" target="_blank">cbenham@adam.com.au</a>>, Kevin Venzke <<a href="mailto:stepjak@yahoo.fr" target="_blank">stepjak@yahoo.fr</a>><br>
Subject: [EM] A New Spinoff of Our Recent Discussions<br>
Message-ID:<br>
        <<a href="mailto:CAP29onc__B876PaCWDT-d_T7BwQi5eR3yDR6dV8PDGOYOto4ew@mail.gmail.com" target="_blank">CAP29onc__B876PaCWDT-d_T7BwQi5eR3yDR6dV8PDGOYOto4ew@mail.gmail.com</a>><br>
Content-Type: text/plain; charset="utf-8"<br>
<br>
I was mulling over Kristofer's ideas abbout using first place counts in new<br>
ways.<br>
<br>
It reminded me about what we called "Borda Done Right" where we decloned<br>
Borda by use of the first place counts.<br>
<br>
Then a light bulb turned on: Why not de-clone Copeland in rthe same way?<br>
After all, Copeland always chooses from the Landau set, the set of<br>
uncovered candidates.  [I first realized this a few years ago when Marcus<br>
expressed doubt that there was a monotonic method that would always choose<br>
from Landau. After a little thought Copeland was the most obvious example<br>
to clear up the question.]<br>
<br>
So here is Improved Copeland:<br>
<br>
For each candidate X, let S(X) be the sum of first place votes of the<br>
candidates that do not pairwise beat X.<br>
<br>
[Note that this sum includes the number of first place votes received by X,<br>
since X does not pairwise beat X.]<br>
<br>
Elect from argmax(S(X)).<br>
<br>
Note that in large public elections argmax(S(X)) will almost surely consist<br>
of only one candidate.<br>
<br>
That version works best when the ballots have have easily discerned<br>
favorites.<br>
<br>
Here's a version that works better for a greater variety of ballots,<br>
especially where equal top votes are allowed:<br>
<br>
For each candidate Y let P(Y) be the probability that Y would be chosen by<br>
a random ballot lottery. [Actually, any other decent lottery would work<br>
just as well.]<br>
<br>
For each candidate X, let S(X) be the sum (over all candidates Y that do<br>
not pairwise beat X) of P(Y).<br>
<br>
Elect from argmax(S(X)).<br>
<br>
Note that if Z covers X, then S(Z) is greater than or equal to S(X),<br>
because every P(Y) in the sum for S(X) will also be a term in the sum<br>
defining S(Z).<br>
<br>
Therefore the max(S(X)) candidate is uncovered.<br>
<br>
Like Copeland the method is also monotone, and unlike Copeland the method<br>
is clone proof.<br>
<br>
Since Copeland is one of the most familiar Condorcet methods, and has an<br>
obvious appeal until the clone dependence probblem is pointed out, ithis<br>
new method can be presented as a simple , easily understandable solution to<br>
that problem.<br>
<br>
How does it hold up on our favorite examples?<br>
<br>
Try<br>
<br>
49 C<br>
26 A>B<br>
25 B<br>
<br>
S(C)=49+26=75<br>
S(A)=26+25=51<br>
S(B)=25+49=74<br>
<br>
Arrgmax(S(X))={C}<br>
<br>
The method passes the CD criterion.<br>
<br>
Is this too good to be true?<br>***************************<br>
</blockquote></div></div>
</blockquote></div>