<div dir="ltr"><div>As near as I know the following PR method based on Range/Score style ballots is new.<br><br></div><div>This method is based on maximizing a measure of "goodness" of representation to be specified later.  Slates of candidates are nominated individually for consideration, because in general there are too many possible slates to consider every one of them (due to combinatorial explosion).  Among the nominated slates, the one with the best measure of "goodness" of PR is elected.<br><br></div><div>To reduce the abstraction, suppose that there are only 100 candidates and that only five vacancies to be filled.   Suppose further, that there are  ten thousand ballots (one for each of ten thousand voters).<br><br></div><div>Given a subset S of five candidates, we decide how good it is as follows:<br><br></div><div>Order the set S according to their Range totals, so that the highest to lowest score order is c1, c2, ...c5.  This order only comes into play to determine the cyclic order of play as the candidates "choose up teams" so to speak.<br><br></div><div>Ballots are assigned to each of the candidates cyclically so that the ballot most favorable to c1 goes to c1's pile, of the remaining the one most favorable to c2, goes to c2's pile, etc. like the way we used to choose teams when we were in grade school.<br><br></div><div>(Eventually we'll get to how to automate judgment of favorability.  Be patient)<br></div><div><br></div><div>After 2000 times around the circle, each pile will contain exactly 2000 ballots. (Thanks for your patience.)<br><br>For our purposes the relative favorability of ballot V for candidate C is the probability that V would elect C if it were drawn in a lottery; i.e. V's rating of C divided by the sum of all of V's ratings for the candidates in S including C.<br></div><div><br></div><div>What happens when one of more of the candidates is not shown any favorability by any of the remaining ballots?  The other candidates continue augmenting their piles until they reach their quotas (two thousand each in this case), and the remaining ballots are assigned by comparing them to the official public ballots of the candidates whose piles are not yet complete. (We won't worry about the details of that for now.)<br><br></div><div>For each candidate C in S add up all of the ratings over all of the ballots in the pile, but not the ratings for candidates outside of S.  Divide this number by the total possible, which in this case is two thousand times five or ten thousand.<br><br></div><div>We now have five quotients, one for each candidate.  Multiply these five numbers together and take the fifth root.  This geometric mean is the "goodness" score for the slate.<br><br></div><div>Among the nominated slates, elect the "best" one, i.e. the one with the highest "goodness."<br><br></div><div>It is easy to show that this method satisfies proportionality requirements. And (I believe) it takes into account "out-of pile" preferences as much as possible without destroying proportionality.<br><br></div><div>No time for proofs or examples right now, but first, any questions about the method?<br></div><div><br></div><div><br></div><div><br><br><br></div><div><br><br><br><br></div><br><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">****<br>
</blockquote></div></div>