<div dir="ltr"><div dir="ltr">



















<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">Given score style ballots, the Nash Lottery is the lottery (i.e. probability vector on the alternatives) that
maximizes the product P of the ballot expectations. <span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">Let’s argue that when an alternative
X is in the support of the Nash Lottery L, raising the rating of that
alternative on a single ballot without changing any other rating on that ballot
(or any other ballot) will not bump that candidate from the support of the
lottery:<span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">First of all note that the new
winning lottery L’ (if there is a change) must yield a greater product P’ of
ballot expectations than the old product P, since even the old winning lottery L
will now have a greater product of ballot expectations due to the increased rating
of X on one ballot.<span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">Now suppose that the support of the
new winning lottery L’ does not include X.<span> 
</span>Then this lottery L’ yields the same product of ballot expectations
before and after the change in the rating of X .<span>  </span>So we have P’ > P even before the change
in the single ballot that raised X.<span>  </span>In
other words the lottery L’ was better than L even before the change, so L could
not have been the Nash Lottery winner, after all.<span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">Now another question arises:<span>  </span>can raising the rating of only one
alternative X (already in the support of the winning Nash Lottery L) increase
the cardinality of the support of the winning lottery?<span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">If not, then Random Ballot on the
support of the Nash Lottery winner is a monotonic method.<span></span></span></b></p>

<p class="MsoNormal" style="margin:0in 0in 8pt;line-height:107%;font-size:11pt;font-family:"Calibri",sans-serif"><b><span style="font-size:14pt;line-height:107%">Any insight into this question?<span></span></span></b></p>





</div><br><div class="gmail_quote"><br></div></div>