<div dir="ltr">Current theory suggests Condorcet methods are incompatible with the Participation criterion:  a set of ballots can exist such that a Condorcet method elects candidate X, and a single additional ballot ranking X ahead of Y will change the winner from X to Y.<div><br></div><div><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Participation_criterion">https://en.wikipedia.org/wiki/Participation_criterion</a><br></div><div><br></div><div>This criterion seems ill-fitted, and I feel needs clarification.</div><div><br></div><div>First, so-called Condorcet methods are simply Smith-efficient (some are Schwartz-efficient, which is a subset):  they elect a candidate from the Smith set.  If the Smith set is one candidate, that is the Condorcet candidate, and all methods elect that candidate.</div><div><br></div><div>From that standpoint, each Condorcet method represents an arbitrary selection of a candidate from a pool of identified suitable candidates.  Ranked Pairs elects the candidate with the strongest rankings; Schulze elects a more-suitable candidate with less voter regret (eliminates candidates with relatively large pairwise losses); Tideman's Alternative methods resist tactical voting and elect some candidate or another.</div><div><br></div><div>Given that Tideman's Alternative methods resist tactical voting, one might suggest a bona fide Condorcet candidate is automatically resistant to tactical voting and thus unlikely to be impacted by the no-show paradox.</div><div><br></div><div>I ask if the following hold true in Condorcet methods where tied rankings are disallowed:</div><div><ol><li>In methods independent of Smith-dominated alternatives (ISDA), ranking X above Y will not change the winner from X to Y <i>unless</i> Y is already in the Smith Set prior to casting the ballot.</li><li>In ISDA methods, ranking X above Y will not change the winner from X to Y <i>unless</i> some candidate Z both precedes X and is in the Smith set prior to casting the ballot.</li><li>In ISDA methods, ranking X above Y will not change the winner from X <i>unless</i> some candidate Z both precedes X and is in the Smith set <i>after</i> casting the ballot.</li><li>In ISDA methods, ranking X above Y and ranking Z above X will either not change the winner from X <i>or</i> will change the winner from X to Z if Z is not in the Smith Set prior to casting the ballot and is in the Smith Set after casting the ballot.</li><li>in ISDA methods, ranking X above Y will not change the winner from X to Y <i>unless</i> Y precedes Z in a cycle after casting the ballot <i>and</i> Z precedes X on the ballot.</li></ol>I have not validated these mathematically.</div><div><br></div><div>#1 stands out to me because ranking ZXY can cause Y to beat W.  If W is in the Smith Set, this will bring Y into the Smith Set; it will also strengthen both Z and X over W.  Z and X beat Y, as well.</div><div><br></div><div>This is trivially valid for Ranked Pairs; I am uncertain of Schulze or Tideman's Alternative.  Schulze should elect Z or X.</div><div><br></div><div>In Tideman's Alternative, X can't win without being first-ranked more frequently than Z and W; bringing Y into the Smith Set removes all of X's first-ranked votes where Y was ranked above X (X* becomes YX*).  Y cannot suddenly dominate all candidates in this way, and should quickly lose ground:  X might go first, but that just turns XZ* and XW* votes into Z and W votes, and Z and W previously dominated Y and so Y will be the <i>second</i> eliminated if not the <i>first</i>.</div><div><i><br></i></div><div>#2 is similar.  If you rank X first, Ranked Pairs will tend to get to X sooner, possibly moving it ahead of a prior pairwise lock-in of Y, but not behind.  The losses for X get weaker and the wins get stronger.  X also necessarily cannot be the plurality loser in Tideman's Alternative, and will not change its position relative to Y.  X must be preceded by a candidate already in the Smith Set prior to casting the ballot for the winner to change from X to Y.</div><div><br></div><div>#3 suggests similar:  if a candidate Z precedes X and is not in the Smith set after casting the ballot, X is the first candidate, and #2 holds (this is ISDA).</div><div><br></div><div>#4 might be wrong:  pulling Z into the Smith set by ZXY might not be able to change the winner from X.</div><div><br></div><div>#5 suggests you can't switch from X to Y unless the ballot ranks Z over X <i>and</i> Y has a beatpath that reaches X through Z.</div><div><br></div><div>I haven't tested or evaluated any of these; I suspect some of these are true, some are false, and some are weaker statements than what does hold true.</div><div><br></div><div>The fact that Condorcet methods fail participation is fairly immaterial.  I want to know WHEN they fail participation.  I suspect, to be short, that a Condorcet method exists (e.g. any ISDA method) which can only fail participation when the winner is not the first Smith-set candidate ranked on the ballot.  Likewise, I suspect that the probability of such failure is vanishingly-small for some methods, and relies on particular and uncommon conditions in the graph.</div><div><br></div></div>